Докажите самостоятельно, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ДОКАЖИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО

В случае, когда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ расположены на одной прямой, теорема доказывается несложно (рис. 1.6, б).

В задаче требуется доказать теорему о равенстве векторов в координатах для частного случая, когда векторы лежат на одной прямой. Формулировка теоремы следующая: два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Пусть даны векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, которые лежат на одной прямой $l$, как показано на рисунке.

Доказательство состоит из двух частей: прямой и обратной теоремы.

Пусть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$. По определению, это означает, что векторы сонаправлены ($\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{CD}$) и их длины (модули) равны ($|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$).

Координатами вектора в заданной системе координат являются его проекции на оси координат. Пусть координаты точек равны $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D)$. Тогда координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ определяются разностью координат их конца и начала:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

$\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, они представляют собой один и тот же вектор (свободный вектор). Следовательно, их проекции на любую ось, включая оси координат Ox и Oy, должны быть равны.

Проекция вектора $\vec{AB}$ на ось Ox равна $x_B - x_A$. Проекция вектора $\vec{CD}$ на ось Ox равна $x_D - x_C$. Из равенства векторов следует равенство их проекций:

$x_B - x_A = x_D - x_C$

Аналогично, проекция вектора $\vec{AB}$ на ось Oy равна $y_B - y_A$, а проекция вектора $\vec{CD}$ на ось Oy равна $y_D - y_C$. Следовательно:

$y_B - y_A = y_D - y_C$

Таким образом, доказано, что если векторы равны, то их соответствующие координаты равны. Это доказательство справедливо для любого расположения векторов, в том числе и для случая их расположения на одной прямой.

Ответ: Доказано, что из равенства векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует равенство их соответствующих координат: $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$.

Пусть дано, что координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то есть:

$x_B - x_A = x_D - x_C$

$y_B - y_A = y_D - y_C$

Кроме того, по условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ лежат на одной прямой $l$. Требуется доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$, то есть что они сонаправлены и их длины равны.

Сначала найдем длины векторов. Длина вектора вычисляется через его координаты по формуле:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$

Так как по условию $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$, то подкоренные выражения равны. Следовательно, равны и длины векторов:

$|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$

Теперь докажем, что векторы сонаправлены. По условию они лежат на одной прямой, значит, они либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Пусть $\vec{u} = (u_x, u_y)$ — это единичный направляющий вектор для прямой $l$. Тогда любой вектор, лежащий на этой прямой, можно представить в виде $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k$ — это действительное число, равное проекции вектора $\vec{v}$ на направление $\vec{u}$. Знак $k$ определяет направление вектора вдоль прямой.

Таким образом, $\vec{AB} = k_1 \vec{u}$ и $\vec{CD} = k_2 \vec{u}$. В координатной форме это означает:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (k_1 u_x, k_1 u_y)$

$\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (k_2 u_x, k_2 u_y)$

Из условия равенства координат векторов получаем систему уравнений:

$\begin{cases} k_1 u_x = k_2 u_x \\ k_1 u_y = k_2 u_y \end{cases} \implies \begin{cases} (k_1 - k_2) u_x = 0 \\ (k_1 - k_2) u_y = 0 \end{cases}$

Поскольку $\vec{u}$ — единичный вектор, он не является нулевым, а значит, хотя бы одна из его координат ($u_x$ или $u_y$) отлична от нуля. Если $u_x \neq 0$, то из первого уравнения следует, что $k_1 - k_2 = 0$, то есть $k_1 = k_2$. Если же $u_y \neq 0$, то тот же вывод следует из второго уравнения. Таким образом, $k_1 = k_2$.

Равенство коэффициентов $k_1 = k_2$ означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не только имеют одинаковую длину, но и одинаковое направление (поскольку знаки $k_1$ и $k_2$ совпадают). Следовательно, $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Ответ: Доказано, что из равенства координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, лежащих на одной прямой, следует равенство самих векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Таким образом, теорема полностью доказана для случая, когда векторы расположены на одной прямой.