Номер 0.35, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.35. У равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне и в два раза меньше большего основания. Найдите углы этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Обозначим длину меньшего основания $BC$ через $x$.

Согласно условию задачи, меньшее основание равно боковой стороне, следовательно, $AB = CD = BC = x$.

Также по условию, меньшее основание в два раза меньше большего основания, то есть $AD = 2 \cdot BC = 2x$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CK$ параллельно боковой стороне $AB$ так, чтобы точка $K$ лежала на большем основании $AD$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABCK$. У него стороны $BC$ и $AK$ параллельны, так как они лежат на параллельных основаниях трапеции. Стороны $AB$ и $CK$ параллельны по построению. Следовательно, $ABCK$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Поэтому $CK = AB = x$ и $AK = BC = x$.

Теперь найдем длину отрезка $KD$ на основании $AD$. Она равна разности длин $AD$ и $AK$: $KD = AD - AK = 2x - x = x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CKD$. Мы установили длины всех его сторон: $CD = x$ (как боковая сторона трапеции), $CK = x$ (из параллелограмма $ABCK$), $KD = x$ (по вычислению).

Поскольку все стороны треугольника $\triangle CKD$ равны ($CD = CK = KD = x$), он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle D = 60^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при каждом основании равны. Углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Отсюда находим угол $C$: $\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Углы при меньшем основании также равны: $\angle B = \angle C = 120^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$.

Ответ: Углы при большем основании равны $60^\circ$, а углы при меньшем основании равны $120^\circ$.