Номер 0.28, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.28. Углы треугольника, прилежащие к стороне $a$, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся известными нам стороной $a$ и двумя прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, угол $\angle C = \alpha$ и угол $\angle B = \beta$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Поэтому третий угол треугольника, $\angle A = \gamma$, можно найти следующим образом:$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей одну сторону и три угла. Однако более наглядно вывести эту формулу. Воспользуемся формулой площади через две стороны и синус угла между ними. Например, возьмем стороны $a$ ($BC$) и $c$ ($AB$) и угол между ними $\beta$:$S = \frac{1}{2} a c \sin \beta$.

В этой формуле нам неизвестна сторона $c$. Найдем ее с помощью теоремы синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{a}{\sin \gamma} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Подставим выражение для $\gamma$:

$\frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$\frac{a}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь подставим найденное выражение для стороны $c$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \right) \sin \beta$

Упростив, получаем окончательную формулу для площади треугольника:

$S = \frac{a^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$