Номер 0.30, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.30. Через концы хорды, длина которой равна радиусу окружности, проведены две касательные. Найдите угол между этими касательными (рис. 0.2)

Рис. 0.2

Пусть дана окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r$. Хорда $BD$ (не показана на рисунке) по условию равна радиусу, то есть $BD=r$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Стороны $AB$ и $AD$ являются радиусами окружности, поэтому $AB=AD=r$. Так как по условию длина хорды $BD$ также равна $r$, то треугольник $ABD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle BAD = 60^\circ$.

Через точки $B$ и $D$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке $C$. Таким образом, $BC$ и $DC$ — это отрезки касательных. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, радиус $AB$ перпендикулярен касательной $BC$, и радиус $AD$ перпендикулярен касательной $DC$. Отсюда следует, что углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются прямыми, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle ADC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$.

Подставим известные значения углов в это равенство: $60^\circ + 90^\circ + \angle BCD + 90^\circ = 360^\circ$

$240^\circ + \angle BCD = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle BCD$: $\angle BCD = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.