Номер 0.23, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.23. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

По условию задачи, в данный параллелограмм можно вписать окружность. Это значит, что параллелограмм является описанным четырехугольником.

Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пито, которая гласит, что суммы длин его противолежащих сторон равны. Применим эту теорему к нашему параллелограмму $ABCD$:
$AB + CD = BC + AD$.

Теперь используем свойство параллелограмма ($AB = CD$ и $BC = AD$) и подставим его в равенство из теоремы Пито. Заменим $CD$ на $AB$, а $AD$ на $BC$:
$AB + AB = BC + BC$
$2 \cdot AB = 2 \cdot BC$
$AB = BC$

Из этого следует, что смежные стороны параллелограмма $AB$ и $BC$ равны. Так как в параллелограмме противолежащие стороны также равны, то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является описанным четырехугольником. По свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон равны ($AB + CD = BC + AD$). Учитывая, что в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), получаем $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$, откуда следует, что смежные стороны равны ($AB = BC$). Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.