Номер 0.20, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.20. Докажите, что каждый треугольник можно разделить на две части так, что из этих частей можно составить параллелограмм.

Для доказательства разделим произвольный треугольник на две части с помощью одного прямолинейного разреза и покажем, как из этих частей сложить параллелограмм.

1. Построение разреза.
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Выберем любые две его стороны, например $AB$ и $BC$, и найдем их середины — точки $M$ и $N$ соответственно. Соединим эти точки отрезком $MN$. Этот отрезок является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MN$ параллельна третьей стороне $AC$ и равна ее половине ($MN \parallel AC$, $MN = \frac{1}{2}AC$).
Разрез по отрезку $MN$ делит исходный треугольник $ABC$ на две фигуры: маленький треугольник $MBN$ и трапецию $AMNC$.

2. Сборка параллелограмма.
Возьмем отрезанный треугольник $MBN$ и совершим его поворот на $180^\circ$ вокруг точки $M$ (середины стороны $AB$). При таком преобразовании:
- Точка $M$ останется на месте.
- Точка $B$ перейдет в точку $A$, так как $M$ — середина отрезка $AB$.
- Точка $N$ перейдет в новую точку $N'$, такую, что $M$ станет серединой отрезка $NN'$.
В результате поворота треугольник $MBN$ преобразуется в равный ему треугольник $MAN'$.
Теперь приложим полученный треугольник $MAN'$ к трапеции $AMNC$ так, чтобы их общая сторона $AM$ совпала. В результате образуется новый четырехугольник $N'ACN$.

3. Доказательство, что полученная фигура — параллелограмм.
Докажем, что четырехугольник $N'ACN$ является параллелограммом. Для этого достаточно показать, что его противолежащие стороны попарно параллельны.
- Стороны $N'A$ и $NC$. Сторона $N'A$ была получена поворотом стороны $NB$. Поворот на $180^\circ$ переводит отрезок в параллельный ему отрезок, поэтому $N'A \parallel NB$. Точки $N$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (стороне $BC$ исходного треугольника), значит, отрезок $NB$ лежит на прямой $BC$. Следовательно, $N'A \parallel NC$.
- Стороны $N'N$ и $AC$. Прямая $N'N$ проходит через точки $N'$, $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому он параллелен стороне $AC$. Так как все три точки лежат на одной прямой, то и вся прямая $N'N$ параллельна стороне $AC$.
Поскольку у четырехугольника $N'ACN$ обе пары противолежащих сторон параллельны, по определению он является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что любой треугольник можно разделить на две части (треугольник и трапецию), из которых можно составить параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.