Номер 0.21, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.21. Основания равнобокой трапеции равны 17 см и 27 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, большее основание $AD = 27$ см, меньшее основание $BC = 17$ см, а острый угол при основании равен $60^\circ$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при большем основании равны, то есть $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Так как боковые стороны равны, обозначим их длину как $c$ ($AB = CD = c$). Тогда формула периметра будет: $P = AD + BC + 2c$.

Для нахождения длины боковой стороны $c$, проведем из вершин меньшего основания $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BH \perp AD$, $CK \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, отрезок $HK$ равен по длине меньшему основанию: $HK = BC = 17$ см.

Треугольники $ABH$ и $DCK$ являются прямоугольными. Так как трапеция равнобокая, они равны друг другу по гипотенузе ($AB=CD$) и катету ($BH=CK$). Из этого следует, что отрезки $AH$ и $KD$ также равны. Длину каждого из этих отрезков можно найти, вычтя из длины большего основания длину меньшего и разделив результат на два:$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известен катет $AH=5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60^\circ$. Гипотенузу $AB$, которая является боковой стороной трапеции $c$, можно найти, используя косинус угла $A$:$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$Подставим известные значения:$\cos(60^\circ) = \frac{5}{c}$

Зная, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{5}{c}$

Решая это уравнение, находим $c$:$c = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь, когда известны длины всех сторон трапеции, мы можем вычислить ее периметр:$P = AD + BC + 2c = 27 + 17 + 2 \cdot 10 = 44 + 20 = 64$ см.

Ответ: 64 см.