Номер 0.27, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.27. Площадь параллелограмма равна $7 \text{ см}^2$, его смежные стороны равны $4 \text{ см}$ и $7 \text{ см}$. Найдите его высоту и острый угол.

По условию задачи даны площадь параллелограмма $S = 7$ см², и длины его смежных сторон $a = 4$ см и $b = 7$ см. Требуется найти его высоты и острый угол.

Нахождение высот

Параллелограмм имеет две различные высоты, проведенные к каждой из смежных сторон. Обозначим их $h_a$ (высота, опущенная на сторону $a$) и $h_b$ (высота, опущенная на сторону $b$).

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Найдем высоту $h_a$, проведенную к стороне $a = 4$ см:
$S = a \cdot h_a$
$7 = 4 \cdot h_a$
$h_a = \frac{7}{4} = 1,75$ см.

2. Найдем высоту $h_b$, проведенную к стороне $b = 7$ см:
$S = b \cdot h_b$
$7 = 7 \cdot h_b$
$h_b = \frac{7}{7} = 1$ см.

Таким образом, высоты параллелограмма равны 1 см и 1,75 см.

Нахождение острого угла

Площадь параллелограмма также можно вычислить по формуле через две смежные стороны и синус угла $\alpha$ между ними:
$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$7 = 4 \cdot 7 \cdot \sin(\alpha)$
$7 = 28 \cdot \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Поскольку по условию требуется найти острый угол, его значение $\alpha$ будет равно арксинусу полученного значения.
$\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$

Ответ: высоты параллелограмма равны 1 см и 1,75 см; острый угол равен $\arcsin(\frac{1}{4})$.