Номер 0.32, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.32. Докажите, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

Для доказательства утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть $AM$ и $CN$ — биссектрисы его противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$ соответственно, где точка $M$ лежит на стороне $CD$, а точка $N$ — на стороне $AB$. Необходимо доказать, что прямые $AM$ и $CN$ параллельны.

Доказательство строится на свойствах параллелограмма и признаках параллельности прямых.
1. По свойству параллелограмма, его противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$.
2. Так как $AM$ и $CN$ являются биссектрисами, они делят свои углы пополам: $\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle NCD = \frac{1}{2}\angle C$. Из равенства углов $\angle A$ и $\angle C$ следует, что их половины также равны: $\angle BAM = \angle NCD$.
3. Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $AB \parallel CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AM$. Углы $\angle BAM$ и $\angle CMA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BAM = \angle CMA$.

Теперь сопоставим полученные равенства:
Мы установили, что $\angle BAM = \angle NCD$.
Мы также установили, что $\angle BAM = \angle CMA$.
Из этого следует, что $\angle CMA = \angle NCD$.

Углы $\angle CMA$ и $\angle NCD$ являются соответственными при прямых $AM$ и $CN$ и секущей $CD$. Так как эти соответственные углы равны, то, по признаку параллельности прямых, прямые $AM$ и $CN$ параллельны.

Аналогичные рассуждения можно применить и ко второй паре противоположных углов ($\angle B$ и $\angle D$), чтобы доказать параллельность их биссектрис.

Ответ: Утверждение о том, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны, доказано.