Номер 0.37, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.37. Докажите, что около четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Известно, что сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$: $$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $$

Внешние углы при вершинах $A, B, C, D$ равны соответственно $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$, $180^\circ - \gamma$ и $180^\circ - \delta$.

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ пересекаются в точке $S$, при вершинах $B$ и $C$ — в точке $P$, при вершинах $C$ и $D$ — в точке $Q$, и при вершинах $D$ и $A$ — в точке $R$. Таким образом, мы получили новый четырехугольник $SPQR$. Нам нужно доказать, что он является вписанным.

Найдем углы четырехугольника $SPQR$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABS$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ образованы биссектрисами внешних углов четырехугольника $ABCD$.
Угол $\angle SAB$ равен половине внешнего угла при вершине $A$: $$ \angle SAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $$ Аналогично, угол $\angle SBA$ равен половине внешнего угла при вершине $B$: $$ \angle SBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$ Сумма углов в треугольнике $\triangle ABS$ равна $180^\circ$. Тогда угол $\angle S$ четырехугольника $SPQR$ равен: $$ \angle S = \angle ASB = 180^\circ - \angle SAB - \angle SBA = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} $$

Проведя аналогичные рассуждения для треугольников $\triangle BCP$, $\triangle CDQ$ и $\triangle DAR$, найдем остальные углы четырехугольника $SPQR$:

• Для $\triangle BCP$: $\angle P = \frac{\beta + \gamma}{2}$
• Для $\triangle CDQ$: $\angle Q = \frac{\gamma + \delta}{2}$
• Для $\triangle DAR$: $\angle R = \frac{\delta + \alpha}{2}$

Теперь проверим сумму противолежащих углов четырехугольника $SPQR$. Возьмем, например, углы $\angle S$ и $\angle Q$: $$ \angle S + \angle Q = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} $$ Так как $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$, получаем: $$ \angle S + \angle Q = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $$ Аналогично для другой пары противолежащих углов $\angle P$ и $\angle R$: $$ \angle P + \angle R = \frac{\beta + \gamma}{2} + \frac{\delta + \alpha}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $$

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $SPQR$ равна $180^\circ$, по свойству вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность.

Ответ: Доказано, что сумма противолежащих углов четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов выпуклого четырехугольника, равна $180^\circ$. Следовательно, по признаку вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность.