Практическая работа, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Постройте два вектора:

а) равные по длине, но не коллинеарные;

б) равные по длине и сонаправленные;

в) равные по длине и противоположно направленные.

В каком из этих трех случаев построенные векторы равны между собой? Обоснуйте ответ.

2. Постройте векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ ($ \vec{a} \neq \vec{b} $). Отметьте точку $ O $ и по-стройте параллелограмм $ OABC $ так, чтобы выполнялись равенства $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OC} = \vec{b} $.

3. Постройте произвольно вектор $ \vec{a} $ такой, что $ |\vec{a}| = 3 $ см. Отметьте точку $ A $ и постройте квадрат $ ABCD $ так, чтобы выполнялось равенство $ \vec{a} = \vec{AB} $. Сколько таких квадратов можно построить?

1. а) равные по длине, но не коллинеарные;

Два вектора равны по длине, если их модули (длины) одинаковы. Векторы не коллинеарны, если они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для построения нужно нарисовать два направленных отрезка одинаковой длины, но с разным наклоном (непараллельные).

На рисунке векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), но не коллинеарны, так как они не параллельны.

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

б) равные по длине и сонаправленные;

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону. Для построения нужно нарисовать два параллельных направленных отрезка одинаковой длины, указывающих в одну сторону.

На рисунке векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{c}| = |\vec{d}|$) и сонаправлены ($\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{d}$).

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

в) равные по длине и противоположно направленные.

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Для построения нужно нарисовать два параллельных направленных отрезка одинаковой длины, указывающих в разные стороны.

На рисунке векторы $\vec{e}$ и $\vec{f}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{e}| = |\vec{f}|$), но противоположно направлены ($\vec{e} \uparrow\downarrow \vec{f}$).

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

В каком из этих трех случаев построенные векторы равны между собой? Обоснуйте ответ.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны.
а) Векторы не равны, так как они не коллинеарны, а значит и не сонаправлены.
б) Векторы равны, так как они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Это полностью соответствует определению равных векторов.
в) Векторы не равны, так как они противоположно направлены, а не сонаправлены. Такие векторы называются противоположными, но не равными.

Ответ: Векторы равны в случае б), так как по определению равные векторы должны быть сонаправлены и иметь равные длины.

2. Для построения параллелограмма $OABC$ по заданным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \nparallel \vec{b}$) таким, что $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OC} = \vec{b}$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать произвольную точку $O$ на плоскости.
2. От точки $O$ отложить вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$.
3. От точки $O$ отложить вектор $\vec{OC}$, равный вектору $\vec{b}$.
4. Через точку $A$ провести прямую, параллельную $OC$.
5. Через точку $C$ провести прямую, параллельную $OA$.
6. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $B$ искомого параллелограмма $OABC$.

В построенном параллелограмме $OABC$ по построению $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OC} = \vec{b}$.

Ответ: Параллелограмм $OABC$ построен в соответствии с условиями задачи.

3. Для построения квадрата $ABCD$ по заданному вектору $\vec{a}$ с условием, что $|\vec{a}| = 3$ см и $\vec{a} = \vec{AB}$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на плоскости произвольную точку $A$.
2. Построить вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$. Длина отрезка $AB$ будет равна 3 см.
3. Из точки $A$ провести луч, перпендикулярный отрезку $AB$.
4. На этом луче отложить отрезок $AD$ длиной 3 см.
5. Из точки $B$ провести луч в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$, перпендикулярный $AB$.
6. На этом луче отложить отрезок $BC$ длиной 3 см.
7. Соединить точки $C$ и $D$. Фигура $ABCD$ будет искомым квадратом.
Поскольку перпендикуляр из точки $A$ к прямой $AB$ можно провести в две разные стороны (в две полуплоскости), то существует два возможных положения для стороны $AD$, и, следовательно, два возможных квадрата.

На рисунке показаны два возможных квадрата: $ABCD$ и $ABC'D'$, построенные на векторе $\vec{AB} = \vec{a}$.

Ответ: Можно построить два таких квадрата.