Номер 0.39, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.39. Как из данного квадрата можно вырезать другой квадрат, чтобы данный квадрат был разделен на две равновеликие части?

Для того чтобы вырезать из данного квадрата другой квадрат и при этом разделить исходный квадрат на две равновеликие (равные по площади) части, необходимо выполнить следующее построение: найти середины каждой из четырех сторон исходного квадрата и соединить их последовательно.

Полученная в результате фигура будет искомым квадратом. Проведем доказательство.

Пусть дан исходный квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Его площадь равна $S_1 = a^2$. Точки $P, Q, R, S$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырехугольник $PQRS$ — это фигура, которую мы вырезаем.

Докажем, что $PQRS$ является квадратом. В треугольнике $ABC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, он параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $PQ = AC/2$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $RS$ является средней линией, он также параллелен $AC$ и $RS = AC/2$. Таким образом, стороны $PQ$ и $RS$ параллельны и равны.

Рассматривая треугольники $BCD$ и $ABD$, можно показать, что стороны $QR$ и $SP$ параллельны диагонали $BD$ и равны ее половине ($QR = SP = BD/2$).

В исходном квадрате $ABCD$ диагонали равны ($AC = BD$) и перпендикулярны ($AC \perp BD$). Из этого следует, что все стороны четырехугольника $PQRS$ равны между собой ($PQ=QR=RS=SP$), а смежные стороны перпендикулярны (так как они параллельны перпендикулярным диагоналям). Таким образом, $PQRS$ является квадратом.

Теперь найдем площадь вырезанного квадрата $PQRS$. Длина диагонали исходного квадрата $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Сторона квадрата $PQRS$ равна $b = PQ = AC/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь вырезанного квадрата $PQRS$ равна $S_2 = b^2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{a^2}{2}$.

Площадь оставшейся части $S_{ост}$ равна разности площадей исходного и вырезанного квадратов: $S_{ост} = S_1 - S_2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, площадь вырезанного квадрата $S_2$ равна площади оставшейся части $S_{ост}$. Это означает, что исходный квадрат разделен на две равновеликие части, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы разделить данный квадрат на две равновеликие части, вырезав из него другой квадрат, необходимо соединить середины сторон данного квадрата. Полученная в центре фигура будет искомым квадратом. Его площадь будет равна половине площади исходного квадрата. Оставшаяся часть, состоящая из четырех треугольников по углам, будет иметь суммарную площадь, также равную половине площади исходного квадрата.