Страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.28. Углы треугольника, прилежащие к стороне $a$, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся известными нам стороной $a$ и двумя прилежащими к ней углами $\alpha$ и $\beta$.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, угол $\angle C = \alpha$ и угол $\angle B = \beta$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Поэтому третий угол треугольника, $\angle A = \gamma$, можно найти следующим образом:$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей одну сторону и три угла. Однако более наглядно вывести эту формулу. Воспользуемся формулой площади через две стороны и синус угла между ними. Например, возьмем стороны $a$ ($BC$) и $c$ ($AB$) и угол между ними $\beta$:$S = \frac{1}{2} a c \sin \beta$.

В этой формуле нам неизвестна сторона $c$. Найдем ее с помощью теоремы синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C}$

Подставим наши обозначения:

$\frac{a}{\sin \gamma} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Подставим выражение для $\gamma$:

$\frac{a}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$\frac{a}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{c}{\sin \alpha}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$

Теперь подставим найденное выражение для стороны $c$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} a \left( \frac{a \sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \right) \sin \beta$

Упростив, получаем окончательную формулу для площади треугольника:

$S = \frac{a^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $S = \frac{a^2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \sin(\alpha + \beta)}$

0.29. Площадь трапеции равна 594 $m^2$, высота 22 m, а разность оснований 6 m. Найдите основания трапеции.

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. Площадь трапеции ($S$) вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

$S = 594$ м²
$h = 22$ м
Разность оснований равна 6 м. Предположим, что $a$ - это большее основание, а $b$ - меньшее. Тогда $a - b = 6$.

Наша цель - найти значения $a$ и $b$.

Сначала используем формулу площади, чтобы найти сумму оснований ($a+b$):
$594 = \frac{a+b}{2} \cdot 22$

Сократим 2 и 22 в правой части уравнения:
$594 = (a+b) \cdot 11$

Теперь найдем сумму оснований, разделив площадь на 11:
$a+b = \frac{594}{11}$
$a+b = 54$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
1) $a + b = 54$
2) $a - b = 6$

Можно решить эту систему, например, методом сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(a+b) + (a-b) = 54 + 6$
$2a = 60$
$a = \frac{60}{2}$
$a = 30$ м

Мы нашли большее основание. Теперь подставим значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:
$30 + b = 54$
$b = 54 - 30$
$b = 24$ м

Таким образом, основания трапеции равны 30 м и 24 м.

Ответ: основания трапеции равны 24 м и 30 м.

0.30. Через концы хорды, длина которой равна радиусу окружности, проведены две касательные. Найдите угол между этими касательными (рис. 0.2)

Рис. 0.2

Пусть дана окружность с центром в точке $A$ и радиусом $r$. Хорда $BD$ (не показана на рисунке) по условию равна радиусу, то есть $BD=r$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Стороны $AB$ и $AD$ являются радиусами окружности, поэтому $AB=AD=r$. Так как по условию длина хорды $BD$ также равна $r$, то треугольник $ABD$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle BAD = 60^\circ$.

Через точки $B$ и $D$ проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке $C$. Таким образом, $BC$ и $DC$ — это отрезки касательных. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, радиус $AB$ перпендикулярен касательной $BC$, и радиус $AD$ перпендикулярен касательной $DC$. Отсюда следует, что углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ являются прямыми, то есть $\angle ABC = 90^\circ$ и $\angle ADC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, $\angle BAD + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$.

Подставим известные значения углов в это равенство: $60^\circ + 90^\circ + \angle BCD + 90^\circ = 360^\circ$

$240^\circ + \angle BCD = 360^\circ$

Отсюда находим искомый угол $\angle BCD$: $\angle BCD = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

0.31. При каком значении $n$ число диагоналей $n$-угольника равно $n$?

Число диагоналей D выпуклого n-угольника определяется по формуле:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

где n — количество вершин (и сторон) многоугольника. По определению, многоугольник должен иметь не менее трех сторон, то есть $n \ge 3$.

Согласно условию задачи, число диагоналей должно быть равно числу сторон, то есть $D = n$. Подставим это в формулу и составим уравнение:

$\frac{n(n-3)}{2} = n$

Для решения уравнения умножим обе части на 2:

$n(n-3) = 2n$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$n(n-3) - 2n = 0$

Вынесем общий множитель n за скобки:

$n((n-3) - 2) = 0$

$n(n-5) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$n_1 = 0$ или $n_2 - 5 = 0 \implies n_2 = 5$

Поскольку число сторон многоугольника n должно быть не меньше 3, корень $n_1 = 0$ не является решением задачи. Единственным подходящим решением является $n = 5$.

Таким образом, только у пятиугольника число диагоналей равно числу его сторон.

Ответ: 5.

0.32. Докажите, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

Для доказательства утверждения рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть $AM$ и $CN$ — биссектрисы его противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$ соответственно, где точка $M$ лежит на стороне $CD$, а точка $N$ — на стороне $AB$. Необходимо доказать, что прямые $AM$ и $CN$ параллельны.

Доказательство строится на свойствах параллелограмма и признаках параллельности прямых.
1. По свойству параллелограмма, его противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$.
2. Так как $AM$ и $CN$ являются биссектрисами, они делят свои углы пополам: $\angle BAM = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle NCD = \frac{1}{2}\angle C$. Из равенства углов $\angle A$ и $\angle C$ следует, что их половины также равны: $\angle BAM = \angle NCD$.
3. Противоположные стороны параллелограмма параллельны: $AB \parallel CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AM$. Углы $\angle BAM$ и $\angle CMA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BAM = \angle CMA$.

Теперь сопоставим полученные равенства:
Мы установили, что $\angle BAM = \angle NCD$.
Мы также установили, что $\angle BAM = \angle CMA$.
Из этого следует, что $\angle CMA = \angle NCD$.

Углы $\angle CMA$ и $\angle NCD$ являются соответственными при прямых $AM$ и $CN$ и секущей $CD$. Так как эти соответственные углы равны, то, по признаку параллельности прямых, прямые $AM$ и $CN$ параллельны.

Аналогичные рассуждения можно применить и ко второй паре противоположных углов ($\angle B$ и $\angle D$), чтобы доказать параллельность их биссектрис.

Ответ: Утверждение о том, что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны, доказано.

0.33. Докажите, что четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD являются биссектрисами его углов. Это означает, что диагональ AC делит угол A на два равных угла ($\angle BAC = \angle DAC$) и угол C на два равных угла ($\angle BCA = \angle DCA$). Аналогично, диагональ BD делит угол B на два равных угла ($\angle ABD = \angle CBD$) и угол D на два равных угла ($\angle ADB = \angle CDB$).

Для доказательства того, что ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle ADC$. У них сторона AC является общей. По условию, диагональ AC — биссектриса, поэтому $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$ и треугольник $\triangle CBD$. У них сторона BD является общей. По условию, диагональ BD — биссектриса, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle ADB = \angle CDB$. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AD = CD$.

Объединяя полученные результаты, мы имеем следующую систему равенств:
1) $AB = AD$
2) $BC = DC$
3) $AB = BC$
Из этих равенств следует, что $AB = BC = CD = AD$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Рассматривая пары треугольников, на которые каждая диагональ делит четырехугольник ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, а также $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$), можно установить их равенство по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Из равенства треугольников следует равенство всех сторон четырехугольника ($AB = BC = CD = DA$), что по определению означает, что данный четырехугольник является ромбом.

0.34. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Задача на построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, решается с помощью метода достроения до параллелограмма.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны длины двух сторон, например $AC = b$ и $BC = a$, а также длина медианы $CM = m_c$, проведенной к третьей стороне $AB$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $MD = CM$. В результате получим отрезок $CD$ длиной $2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина $AB$. По нашему построению, $M$ — середина $CD$. Так как диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ACD$. Длины всех его трех сторон нам известны: $AC = b$, $AD = a$, и $CD = 2m_c$. Такой треугольник мы можем построить по трем сторонам.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACD$, после чего мы легко найдем положение вершины $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CD$, длина которого равна $2m_c$.

2. Делим отрезок $CD$ пополам и отмечаем его середину — точку $M$.

3. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.

4. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $a$.

5. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как $A$.

6. Соединяем точку $A$ с точками $C$ и $D$, получая вспомогательный треугольник $ACD$.

7. Проводим луч из точки $A$ через точку $M$.

8. На этом луче откладываем отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$.

9. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ имеет длину $b$ по построению (шаги 3 и 5). Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Точка $M$ является серединой диагонали $CD$ (по построению, шаг 2) и серединой диагонали $AB$ (по построению, шаги 7-8). Так как диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, то $ADBC$ — это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $BC = AD$. По построению (шаги 4-5), длина $AD$ равна $a$. Значит, $BC = a$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$, следовательно, $CM$ является медианой. Ее длина равна половине длины отрезка $CD$, то есть $CM = \frac{1}{2} \cdot (2m_c) = m_c$. Таким образом, треугольник $ABC$ имеет заданные стороны $a$ и $b$ и медиану $m_c$ к третьей стороне. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACD$. Для того чтобы треугольник со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$ существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства треугольника:

$a + b > 2m_c$

$a + 2m_c > b$

$b + 2m_c > a$

Если эти условия выполняются, то дуги окружностей на шаге 5 построения пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $CD$. Это дает два конгруэнтных треугольника, которые являются решением задачи. Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $a + b = 2m_c$), точка $A$ окажется на отрезке $CD$, и треугольник будет вырожденным. Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется (например, $a + b < 2m_c$), то дуги не пересекутся, и задача решений не имеет.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится с помощью вспомогательного треугольника $ACD$, стороны которого равны $AC=b$, $AD=a$ и $CD=2m_c$. Вершина $B$ искомого треугольника находится как точка, симметричная точке $A$ относительно точки $M$ (середины $CD$). Построение возможно при условии, что длины отрезков $a, b, 2m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника.

0.35. У равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне и в два раза меньше большего основания. Найдите углы этой трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Обозначим длину меньшего основания $BC$ через $x$.

Согласно условию задачи, меньшее основание равно боковой стороне, следовательно, $AB = CD = BC = x$.

Также по условию, меньшее основание в два раза меньше большего основания, то есть $AD = 2 \cdot BC = 2x$.

Для решения задачи выполним дополнительное построение. Проведем из вершины $C$ отрезок $CK$ параллельно боковой стороне $AB$ так, чтобы точка $K$ лежала на большем основании $AD$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABCK$. У него стороны $BC$ и $AK$ параллельны, так как они лежат на параллельных основаниях трапеции. Стороны $AB$ и $CK$ параллельны по построению. Следовательно, $ABCK$ — параллелограмм.

Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Поэтому $CK = AB = x$ и $AK = BC = x$.

Теперь найдем длину отрезка $KD$ на основании $AD$. Она равна разности длин $AD$ и $AK$: $KD = AD - AK = 2x - x = x$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CKD$. Мы установили длины всех его сторон: $CD = x$ (как боковая сторона трапеции), $CK = x$ (из параллелограмма $ABCK$), $KD = x$ (по вычислению).

Поскольку все стороны треугольника $\triangle CKD$ равны ($CD = CK = KD = x$), он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle D = 60^\circ$.

Так как трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при каждом основании равны. Углы при большем основании: $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для стороны $CD$ имеем: $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Отсюда находим угол $C$: $\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Углы при меньшем основании также равны: $\angle B = \angle C = 120^\circ$.

Таким образом, углы трапеции равны $60^\circ$, $120^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$.

Ответ: Углы при большем основании равны $60^\circ$, а углы при меньшем основании равны $120^\circ$.

0.36. Докажите, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Пусть D — диаметр описанной окружности, а d — диаметр вписанной окружности. Требуется доказать, что $D + d = a + b$.

1. Диаметр описанной окружности

Известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Тогда диаметр D этой окружности равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

Таким образом, диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен его гипотенузе.

2. Диаметр вписанной окружности

Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Докажем эту формулу.Пусть вписанная окружность касается катетов AC и BC в точках M и N, а гипотенузы AB — в точке K. Пусть I — центр вписанной окружности.

Четырехугольник CMIN является квадратом, так как у него все углы прямые (∠C=90°, ∠CMI=∠CNI=90° как углы между радиусом и касательной) и смежные стороны IM и IN равны как радиусы. Следовательно, $CM = CN = r$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

$AM = AK$ и $BN = BK$.

Длины катетов можно выразить следующим образом:

$b = AC = AM + MC = AM + r \implies AM = b - r$

$a = BC = BN + NC = BN + r \implies BN = a - r$

Гипотенуза c равна сумме отрезков AK и BK:

$c = AB = AK + BK = AM + BN = (b-r) + (a-r)$

Из этого уравнения выразим $2r$:

$c = a + b - 2r$

$2r = a + b - c$

Диаметр вписанной окружности $d = 2r$, следовательно:

$d = a + b - c$

3. Сумма диаметров

Теперь сложим полученные выражения для диаметров D и d:

$D + d = c + (a + b - c)$

$D + d = c + a + b - c$

$D + d = a + b$

Таким образом, доказано, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма диаметров $D+d$ равна $c + (a+b-c)$, что равно $a+b$.

0.37. Докажите, что около четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов выпуклого четырехугольника, можно описать окружность.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанного четырехугольника: четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Известно, что сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$: $$ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ $$

Внешние углы при вершинах $A, B, C, D$ равны соответственно $180^\circ - \alpha$, $180^\circ - \beta$, $180^\circ - \gamma$ и $180^\circ - \delta$.

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах $A$ и $B$ пересекаются в точке $S$, при вершинах $B$ и $C$ — в точке $P$, при вершинах $C$ и $D$ — в точке $Q$, и при вершинах $D$ и $A$ — в точке $R$. Таким образом, мы получили новый четырехугольник $SPQR$. Нам нужно доказать, что он является вписанным.

Найдем углы четырехугольника $SPQR$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABS$. Углы этого треугольника при вершинах $A$ и $B$ образованы биссектрисами внешних углов четырехугольника $ABCD$.
Угол $\angle SAB$ равен половине внешнего угла при вершине $A$: $$ \angle SAB = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} $$ Аналогично, угол $\angle SBA$ равен половине внешнего угла при вершине $B$: $$ \angle SBA = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} $$ Сумма углов в треугольнике $\triangle ABS$ равна $180^\circ$. Тогда угол $\angle S$ четырехугольника $SPQR$ равен: $$ \angle S = \angle ASB = 180^\circ - \angle SAB - \angle SBA = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) - \left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} $$

Проведя аналогичные рассуждения для треугольников $\triangle BCP$, $\triangle CDQ$ и $\triangle DAR$, найдем остальные углы четырехугольника $SPQR$:

• Для $\triangle BCP$: $\angle P = \frac{\beta + \gamma}{2}$
• Для $\triangle CDQ$: $\angle Q = \frac{\gamma + \delta}{2}$
• Для $\triangle DAR$: $\angle R = \frac{\delta + \alpha}{2}$

Теперь проверим сумму противолежащих углов четырехугольника $SPQR$. Возьмем, например, углы $\angle S$ и $\angle Q$: $$ \angle S + \angle Q = \frac{\alpha + \beta}{2} + \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} $$ Так как $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$, получаем: $$ \angle S + \angle Q = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $$ Аналогично для другой пары противолежащих углов $\angle P$ и $\angle R$: $$ \angle P + \angle R = \frac{\beta + \gamma}{2} + \frac{\delta + \alpha}{2} = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ $$

Поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника $SPQR$ равна $180^\circ$, по свойству вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность.

Ответ: Доказано, что сумма противолежащих углов четырехугольника, образованного биссектрисами внешних углов выпуклого четырехугольника, равна $180^\circ$. Следовательно, по признаку вписанного четырехугольника, около него можно описать окружность.

0.38. Докажите, что в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов противоположных сторон равны между собой.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Требуется доказать, что суммы квадратов противоположных сторон равны, то есть $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Поскольку диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), они образуют в точке пересечения $O$ прямые углы. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ разделяется на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$: $BC^2 = BO^2 + CO^2$

3. В прямоугольном треугольнике $\triangle COD$: $CD^2 = CO^2 + DO^2$

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle DOA$: $DA^2 = DO^2 + AO^2$

Теперь составим сумму квадратов одной пары противоположных сторон, $AB^2$ и $CD^2$, используя полученные выше выражения:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

Составим сумму квадратов другой пары противоположных сторон, $BC^2$ и $DA^2$:

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$

Сравнивая правые части обоих равенств, мы видим, что они состоят из одних и тех же четырех слагаемых: $AO^2$, $BO^2$, $CO^2$ и $DO^2$.

$AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Следовательно, левые части этих выражений также равны между собой:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов длин противоположных сторон действительно равны.

0.39. Как из данного квадрата можно вырезать другой квадрат, чтобы данный квадрат был разделен на две равновеликие части?

Для того чтобы вырезать из данного квадрата другой квадрат и при этом разделить исходный квадрат на две равновеликие (равные по площади) части, необходимо выполнить следующее построение: найти середины каждой из четырех сторон исходного квадрата и соединить их последовательно.

Полученная в результате фигура будет искомым квадратом. Проведем доказательство.

Пусть дан исходный квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Его площадь равна $S_1 = a^2$. Точки $P, Q, R, S$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Четырехугольник $PQRS$ — это фигура, которую мы вырезаем.

Докажем, что $PQRS$ является квадратом. В треугольнике $ABC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, он параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $PQ = AC/2$. Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $RS$ является средней линией, он также параллелен $AC$ и $RS = AC/2$. Таким образом, стороны $PQ$ и $RS$ параллельны и равны.

Рассматривая треугольники $BCD$ и $ABD$, можно показать, что стороны $QR$ и $SP$ параллельны диагонали $BD$ и равны ее половине ($QR = SP = BD/2$).

В исходном квадрате $ABCD$ диагонали равны ($AC = BD$) и перпендикулярны ($AC \perp BD$). Из этого следует, что все стороны четырехугольника $PQRS$ равны между собой ($PQ=QR=RS=SP$), а смежные стороны перпендикулярны (так как они параллельны перпендикулярным диагоналям). Таким образом, $PQRS$ является квадратом.

Теперь найдем площадь вырезанного квадрата $PQRS$. Длина диагонали исходного квадрата $AC = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Сторона квадрата $PQRS$ равна $b = PQ = AC/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

Площадь вырезанного квадрата $PQRS$ равна $S_2 = b^2 = (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{a^2}{2}$.

Площадь оставшейся части $S_{ост}$ равна разности площадей исходного и вырезанного квадратов: $S_{ост} = S_1 - S_2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, площадь вырезанного квадрата $S_2$ равна площади оставшейся части $S_{ост}$. Это означает, что исходный квадрат разделен на две равновеликие части, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы разделить данный квадрат на две равновеликие части, вырезав из него другой квадрат, необходимо соединить середины сторон данного квадрата. Полученная в центре фигура будет искомым квадратом. Его площадь будет равна половине площади исходного квадрата. Оставшаяся часть, состоящая из четырех треугольников по углам, будет иметь суммарную площадь, также равную половине площади исходного квадрата.