Страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из этих отрезков. Верно ли равенство $\triangle AOC = \triangle BOD$? Укажите другие пары равных треугольников.

Для решения задачи представим данную конфигурацию отрезков в виде рисунка и воспользуемся признаками равенства треугольников.

Верно ли равенство $ΔAOC = ΔBOD$?

Рассмотрим треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$. Из условия задачи нам известно:

1. Точка $O$ является серединой отрезка $AB$, поэтому стороны $AO$ и $OB$ равны: $AO = OB$.

2. Точка $O$ является серединой отрезка $CD$, поэтому стороны $CO$ и $OD$ равны: $CO = OD$.

3. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ образованы при пересечении двух прямых ($AB$ и $CD$) и являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $ΔAOC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $ΔBOD$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), данные треугольники равны.

Ответ: Да, равенство $ΔAOC = ΔBOD$ верно.

Укажите другие пары равных треугольников.

Кроме $ΔAOC$ и $ΔBOD$, пересекающиеся отрезки образуют еще одну пару треугольников: $ΔAOD$ и $ΔBOC$.

Рассмотрим их равенство:

1. $AO = OB$ (так как $O$ — середина $AB$).

2. $OD = CO$ (так как $O$ — середина $CD$).

3. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ также являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AOD = \angle BOC$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, треугольник $ΔAOD$ равен треугольнику $ΔBOC$.

Ответ: Другая пара равных треугольников — $ΔAOD$ и $ΔBOC$.

0.2. Периметр параллелограмма $ABCD$ равен 12 см, а периметр треугольника $ABD$ – 8 см. Найдите длину диагонали $BD$.

Периметр параллелограмма $ABCD$ равен сумме длин всех его сторон. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны ($AB = CD$, $BC = AD$), формула периметра выглядит так: $P_{ABCD} = 2(AB + AD)$.
По условию задачи, периметр параллелограмма равен 12 см:
$2(AB + AD) = 12$ см.
Отсюда мы можем найти сумму длин двух смежных сторон:
$AB + AD = \frac{12}{2} = 6$ см.
Периметр треугольника $ABD$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle ABD} = AB + AD + BD$.
По условию, периметр этого треугольника равен 8 см:
$AB + AD + BD = 8$ см.
Мы уже нашли, что сумма $AB + AD$ равна 6 см. Подставим это значение в уравнение для периметра треугольника:
$6 + BD = 8$ см.
Теперь найдем длину диагонали $BD$:
$BD = 8 - 6 = 2$ см.
Ответ: 2 см.

0.3. Что можно сказать о:

1) четырехугольнике;

2) треугольнике, у которого все углы равны между собой?

Постройте рисунок.

1) четырехугольнике

Будем рассматривать четырехугольник, у которого, по аналогии со вторым пунктом, все углы равны между собой. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Это следует из общей формулы для суммы углов n-угольника: $(n-2) \cdot 180^\circ$.

Для четырехугольника, где $n=4$, сумма углов составляет $(4-2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Если все четыре угла равны, то величина каждого угла $\alpha$ будет равна:

$\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$

Четырехугольник, у которого все углы прямые ($90^\circ$), называется прямоугольником. Частным случаем прямоугольника является квадрат, у которого равны не только все углы, но и все стороны.

Рисунок прямоугольника:

Ответ: Если у четырехугольника все углы равны, то это прямоугольник. Величина каждого его угла составляет $90^\circ$.

2) треугольнике, у которого все углы равны между собой

Сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Если все три угла треугольника равны между собой, то обозначив величину каждого угла как $\beta$, получим уравнение: $3 \cdot \beta = 180^\circ$.

Отсюда находим величину каждого угла:

$\beta = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Треугольник, у которого все углы равны, называется равноугольным. В евклидовой геометрии равноугольный треугольник также является равносторонним, то есть все его стороны тоже равны между собой. Такой треугольник также называют правильным.

Рисунок равностороннего треугольника:

Ответ: Треугольник, у которого все углы равны, является равносторонним (правильным) треугольником. Величина каждого его угла составляет $60^\circ$.

0.4. Найдите углы ромба, в котором одна из диагоналей равна его стороне.

0.4. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Обозначим сторону ромба как $a$.

Пусть нам дан ромб $ABCD$, тогда его стороны равны: $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию задачи, одна из диагоналей ромба равна его стороне. Допустим, диагональ $AC$ равна стороне $a$, то есть $AC = a$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике стороны $AB$, $BC$ и диагональ $AC$ равны между собой: $AB = BC = AC = a$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, угол ромба $\angle ABC$ равен $60^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, поэтому угол $\angle ADC$ также равен $60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем два других угла, $\angle DAB$ и $\angle BCD$:

$\angle DAB = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Поскольку противоположные углы равны, $\angle BCD = \angle DAB = 120^\circ$.

Таким образом, у ромба два противоположных угла равны $60^\circ$ и два других противоположных угла равны $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

0.5. Какую фигуру можно построить, последовательно соединяя середины сторон: 1) параллелограмма; 2) прямоугольника; 3) ромба; 4) квадрата? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Вариньона, которая утверждает, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Ниже приведена иллюстрация для произвольного четырёхугольника $ABCD$. Фигура $KLMN$, полученная соединением середин его сторон, является параллелограммом.

Обоснование теоремы Вариньона: Пусть $ABCD$ — исходный четырёхугольник, а $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является его средней линией. По свойству средней линии, $KL$ параллельна диагонали $AC$ и равна её половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.Таким образом, $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм.Точно так же, рассматривая треугольники $ABD$ и $BCD$, можно показать, что $KN \parallel BD$ и $LM \parallel BD$, а также $KN = LM = \frac{1}{2}BD$.Стороны полученного параллелограмма $KLMN$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника $ABCD$, а их длины равны половинам длин этих диагоналей. Угол между смежными сторонами параллелограмма $KLMN$ равен углу между диагоналями $ABCD$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) параллелограмма

Пусть исходная фигура — параллелограмм $ABCD$. Согласно теореме Вариньона, фигура $KLMN$, образованная серединами его сторон, является параллелограммом. В общем случае у параллелограмма диагонали не равны ($AC \neq BD$) и не перпендикулярны. Следовательно, стороны полученного параллелограмма $KLMN$ ($KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$) не обязательно равны, и его углы не обязательно прямые. Таким образом, в общем случае получится параллелограмм. Ответ: параллелограмм.

2) прямоугольника

Пусть исходная фигура — прямоугольник $ABCD$. Прямоугольник является параллелограммом, у которого диагонали равны: $AC = BD$. Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон прямоугольника, является параллелограммом. Длины его смежных сторон равны $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то $KL = KN$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Ответ: ромб.

3) ромба

Пусть исходная фигура — ромб $ABCD$. Ромб является параллелограммом, у которого диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон ромба, является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного ромба: $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то и смежные стороны $KL$ и $KN$ полученного параллелограмма также перпендикулярны. Параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником. Ответ: прямоугольник.

4) квадрата

Пусть исходная фигура — квадрат $ABCD$. Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом. Следовательно, он обладает свойствами обоих: его диагонали равны ($AC = BD$) и перпендикулярны ($AC \perp BD$). Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон квадрата, будет обладать свойствами фигуры, полученной из прямоугольника, и фигуры, полученной из ромба.
1. Так как исходная фигура — прямоугольник (диагонали равны), то $KLMN$ — ромб (все стороны равны).
2. Так как исходная фигура — ромб (диагонали перпендикулярны), то $KLMN$ — прямоугольник (все углы прямые).
Четырёхугольник, который одновременно является ромбом и прямоугольником, — это квадрат. Ответ: квадрат.

0.6. Стороны треугольника равны 10 см, 12 см и 15 см.
Найдите длины средних линий этого треугольника.

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. По теореме о средней линии, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

В треугольнике три стороны, следовательно, у него есть три средние линии. Стороны данного треугольника равны 10 см, 12 см и 15 см. Найдем длину каждой из них, разделив длину соответствующей параллельной стороны на 2.

1. Длина средней линии, параллельной стороне 10 см, равна:
$m_1 = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Длина средней линии, параллельной стороне 12 см, равна:
$m_2 = \frac{12}{2} = 6$ см.

3. Длина средней линии, параллельной стороне 15 см, равна:
$m_3 = \frac{15}{2} = 7,5$ см.

Ответ: 5 см, 6 см, 7,5 см.

0.7. Углы при основании трапеции равны $60^\circ$ и $80^\circ$. Найдите другие два угла.

Пусть дана трапеция $ABCD$, у которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Углы при одном основании, например, при основании $AD$, равны $60^\circ$ и $80^\circ$. Пусть $\angle A = 60^\circ$ и $\angle D = 80^\circ$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Это свойство следует из того, что основания трапеции параллельны, а боковая сторона является секущей.

Рассмотрим боковую сторону $AB$. Углы $\angle A$ и $\angle B$ прилежат к этой стороне. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ$
Подставим известное значение $\angle A$:
$60^\circ + \angle B = 180^\circ$
Отсюда находим угол $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Рассмотрим боковую сторону $CD$. Углы $\angle C$ и $\angle D$ прилежат к этой стороне. Их сумма также равна $180^\circ$:
$\angle C + \angle D = 180^\circ$
Подставим известное значение $\angle D$:
$\angle C + 80^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$

Таким образом, два других угла трапеции равны $120^\circ$ и $100^\circ$.

Ответ: $120^\circ$ и $100^\circ$.

0.8. Противоположные углы четырехугольника равны $120^\circ$ и $60^\circ$. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность.

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна $180^\circ$. Такой четырехугольник называется вписанным.

В условии задачи дан четырехугольник, у которого два противоположных угла равны $120^\circ$ и $60^\circ$.

Найдем сумму этих углов:

$120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма одной пары противоположных углов четырехугольника равна $180^\circ$, то он удовлетворяет признаку вписанного четырехугольника. Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность.

Также можно убедиться, что сумма другой пары противоположных углов тоже равна $180^\circ$. Сумма всех углов выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$. Если сумма одной пары противоположных углов равна $180^\circ$, то на долю второй пары также остается $360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Так как сумма противоположных углов данного четырехугольника равна $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$, то по свойству вписанных четырехугольников, около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

0.9. В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза, а $\alpha$ - угол, противоположный катету $a$. Найдите неизвестные элементы по заданным:

1) $a = 4$ см, $b = 3$ см;

2) $a = 12$ см, $c = 13$ см;

3) $\alpha = 30^\circ$, $c = 40$ см;

4) $\alpha = 45^\circ$, $b = 4$ см;

5) $\alpha = 60^\circ$, $b = 5$ см;

6) $c = 10$ дм, $b = 6$ дм.

Для решения задач будем использовать следующие обозначения и формулы для прямоугольного треугольника:
- $a, b$ — катеты;
- $c$ — гипотенуза;
- $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$;
- $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$;
- Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$;
- Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90^\circ$;
- Тригонометрические соотношения: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$.

1) a = 4 см, b = 3 см;
Даны два катета. Необходимо найти гипотенузу $c$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, используя тангенс, так как $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$:
$\tan(\alpha) = \frac{4}{3}$. Отсюда $\alpha = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ$.
3. Находим угол $\beta$ из соотношения $\alpha + \beta = 90^\circ$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 53^\circ$ и $\beta \approx 37^\circ$.
Ответ: $c = 5$ см, $\alpha \approx 53^\circ$, $\beta \approx 37^\circ$.

2) a = 12 см, c = 13 см;
Даны катет $a$ и гипотенуза $c$. Необходимо найти катет $b$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, используя синус, так как $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$:
$\sin(\alpha) = \frac{12}{13}$. Отсюда $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13}) \approx 67.38^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 67.38^\circ = 22.62^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 67^\circ$ и $\beta \approx 23^\circ$.
Ответ: $b = 5$ см, $\alpha \approx 67^\circ$, $\beta \approx 23^\circ$.

3) α = 30°, c = 40 см;
Даны угол $\alpha$ и гипотенуза $c$. Необходимо найти катеты $a$, $b$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Находим катет $a$ (противолежащий углу $\alpha$):
$a = c \cdot \sin(\alpha) = 40 \cdot \sin(30^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см.
3. Находим катет $b$ (прилежащий к углу $\alpha$):
$b = c \cdot \cos(\alpha) = 40 \cdot \cos(30^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ см.
Ответ: $a = 20$ см, $b = 20\sqrt{3}$ см, $\beta = 60^\circ$.

4) α = 45°, b = 4 см;
Даны угол $\alpha$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
2. Так как $\alpha = \beta = 45^\circ$, треугольник является равнобедренным, поэтому катеты равны:
$a = b = 4$ см.
3. Находим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: $a = 4$ см, $c = 4\sqrt{2}$ см, $\beta = 45^\circ$.

5) α = 60°, b = 5 см;
Даны угол $\alpha$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Находим катет $a$, используя тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan(\alpha) = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$ см.
3. Находим гипотенузу $c$, используя косинус:
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{5}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{1/2} = 10$ см.
Ответ: $a = 5\sqrt{3}$ см, $c = 10$ см, $\beta = 30^\circ$.

6) c = 10 дм, b = 6 дм.
Даны гипотенуза $c$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим катет $a$ по теореме Пифагора:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ дм.
2. Находим угол $\alpha$, используя косинус, так как $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$:
$\cos(\alpha) = \frac{6}{10} = 0.6$. Отсюда $\alpha = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 53^\circ$ и $\beta \approx 37^\circ$.
Ответ: $a = 8$ дм, $\alpha \approx 53^\circ$, $\beta \approx 37^\circ$.