Страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы называются смежными, а какие -- вертикальными? Укажите их на рисунке. Постройте соответствующий рисунок.

Для определения и иллюстрации смежных и вертикальных углов построим рисунок, на котором изображены две пересекающиеся в точке O прямые.

Смежные углы

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами (то есть вместе образуют прямую линию). Смежные углы имеют общую вершину.

Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

На приведенном рисунке смежными являются следующие пары углов:
- $\angle 1$ и $\angle 2$ (их общая сторона — луч, идущий из точки O вправо-вверх, а две другие стороны образуют прямую)
- $\angle 2$ и $\angle 3$
- $\angle 3$ и $\angle 4$
- $\angle 4$ и $\angle 1$
Для каждой из этих пар выполняется равенство: $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ и так далее.

Ответ: Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой, являясь продолжением друг друга. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Вертикальные углы

Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Такие углы образуются при пересечении двух прямых. Они имеют общую вершину, но не имеют общих сторон.

Основное свойство вертикальных углов — они равны между собой.

На приведенном рисунке вертикальными являются следующие пары углов (для наглядности они обозначены цифрами одного цвета):
- $\angle 1$ и $\angle 3$ (синий цвет)
- $\angle 2$ и $\angle 4$ (красный цвет)
Для этих пар выполняется равенство: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.

Ответ: Вертикальные углы — это два угла, образованные пересечением двух прямых, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.

2. Укажите на рисунке углы, образованные при пересечении двух прямых третьей прямой. Назовите их.

Укажите на рисунке углы, образованные при пересечении двух прямых третьей прямой.

Для решения задачи рассмотрим стандартную ситуацию: две прямые, обозначенные как a и b, пересечены третьей прямой, называемой секущей, которую мы обозначим как c. При этом в точках пересечения образуются восемь углов. Чтобы их идентифицировать, мы пронумеруем их от 1 до 8, как показано на представленном ниже рисунке.

Ответ: Углы, образованные при пересечении прямых a и b секущей c, показаны на рисунке и обозначены цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Назовите их.

В зависимости от их взаимного расположения относительно прямых и секущей, эти углы имеют специальные названия. Они классифицируются на следующие группы:

Внутренние накрест лежащие углы: это пары углов, расположенные во внутренней области между прямыми a и b, но по разные стороны от секущей c. На рисунке это пары: $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 5 $.

Внешние накрест лежащие углы: это пары углов, расположенные во внешней области по отношению к прямым a и b, и по разные стороны от секущей c. На рисунке это пары: $ \angle 1 $ и $ \angle 8 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 7 $.

Соответственные углы: это пары углов, находящиеся по одну сторону от секущей c, при этом один из углов лежит во внутренней области, а другой — во внешней. На рисунке это четыре пары: $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 6 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 7 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 8 $.

Внутренние односторонние углы: это пары углов, расположенные во внутренней области между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. На рисунке это пары: $ \angle 3 $ и $ \angle 5 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $.

Внешние односторонние углы: это пары углов, расположенные во внешней области по отношению к прямым a и b и по одну сторону от секущей c. На рисунке это пары: $ \angle 1 $ и $ \angle 7 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 8 $.

Кроме того, в каждой точке пересечения (где секущая пересекает прямую a и прямую b) образуются следующие виды углов:

Вертикальные углы: это пары углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Такие углы всегда равны. Пары вертикальных углов: $ \angle 1 $ и $ \angle 4 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 3 $; $ \angle 5 $ и $ \angle 8 $; $ \angle 6 $ и $ \angle 7 $.

Смежные углы: это пары углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (вместе образуют прямую). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Примеры пар смежных углов: $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $; $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $; $ \angle 4 $ и $ \angle 3 $; $ \angle 3 $ и $ \angle 1 $, а также аналогичные пары для углов 5, 6, 7 и 8.

Ответ: Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, носят названия: внутренние накрест лежащие, внешние накрест лежащие, соответственные, внутренние односторонние, внешние односторонние. В точках пересечения также образуются вертикальные и смежные углы.

3. Какие две прямые называются параллельными, а какие – перпендикулярными?

Параллельные прямые
Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Это означает, что у них нет ни одной общей точки, и расстояние между ними постоянно на всем их протяжении.

Параллельность прямых $a$ и $b$ обозначается специальным символом: $a \parallel b$. Эта запись читается как "прямая $a$ параллельна прямой $b$".
Ответ: Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Перпендикулярные прямые
Две прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они пересекаются под прямым углом. Величина прямого угла составляет $90^\circ$.

Перпендикулярность прямых $c$ и $d$ обозначается символом $\perp$. Запись $c \perp d$ читается как "прямая $c$ перпендикулярна прямой $d$".
Ответ: Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

4. Какие признаки параллельности прямых вы знаете? Сформулируйте их.

Признаки параллельности прямых — это теоремы, которые позволяют определить, являются ли две прямые на плоскости параллельными, основываясь на свойствах углов, образованных при их пересечении третьей прямой (секущей).

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и пересекающую их секущую $c$.

При пересечении образуются следующие виды углов:

• Накрест лежащие углы: лежат по разные стороны от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. На рисунке это пары ( $\angle 4$ и $\angle 6$ ) и ( $\angle 3$ и $\angle 5$ ).
• Соответственные углы: лежат по одну сторону от секущей $c$, один между прямыми $a$ и $b$, другой — нет. На рисунке это пары ( $\angle 1$ и $\angle 5$ ), ( $\angle 2$ и $\angle 6$ ), ( $\angle 4$ и $\angle 8$ ), ( $\angle 3$ и $\angle 7$ ).
• Односторонние углы: лежат по одну сторону от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. На рисунке это пары ( $\angle 4$ и $\angle 5$ ) и ( $\angle 3$ и $\angle 6$ ).

Основные признаки параллельности прямых:

1. По накрест лежащим углам
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 4 = \angle 6 $ или $ \angle 3 = \angle 5 $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. По соответственным углам
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 1 = \angle 5 $, или $ \angle 2 = \angle 6 $, или $ \angle 4 = \angle 8 $, или $ \angle 3 = \angle 7 $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. По односторонним углам
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $ или $ \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Существует и другой важный признак:

4. Через перпендикулярность третьей прямой
Две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. То есть, если существует прямая $c$ такая, что $a \perp c$ и $b \perp c$, то $a \parallel b$.
Ответ: Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

5. Какая фигура называется треугольником? Какие виды треугольников вы знаете? Назовите и укажите на рисунке все элементы каждого названного вами вида треугольника. Постройте соответствующий рисунок.

Какая фигура называется треугольником?

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Основные элементы любого треугольника:

1. Вершины — точки, в которых сходятся стороны (на рисунке ниже это точки $A, B, C$).

2. Стороны — отрезки, соединяющие вершины (на рисунке это отрезки $AB, BC, AC$). Длины сторон часто обозначают строчными буквами, соответствующими противолежащим вершинам ($a, b, c$).

3. Углы — углы, образованные сторонами при каждой вершине (на рисунке это $∠A$ или $∠BAC$, $∠B$ или $∠ABC$, $∠C$ или $∠BCA$). Сумма углов любого треугольника всегда равна $180°$.

Какие виды треугольников вы знаете?

Треугольники классифицируют по двум основным признакам: по соотношению длин сторон и по величине углов.

Классификация по длине сторон

1. Разносторонний треугольник

Это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Как следствие, все углы у него также разные.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; стороны $AB, BC, CA$ разной длины ($a \neq b \neq c$); углы $∠A, ∠B, ∠C$ разной величины.

2. Равнобедренный треугольник

Это треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; боковые стороны $AB$ и $BC$ (они равны); основание $AC$; равные углы при основании $∠BAC$ и $∠BCA$.

3. Равносторонний (правильный) треугольник

Это треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы также равны и составляют $60°$.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; равные стороны $AB = BC = CA$; равные углы $∠A = ∠B = ∠C = 60°$.

Классификация по величине углов

1. Остроугольный треугольник

Это треугольник, у которого все три угла острые (то есть меньше $90°$). Равносторонний треугольник всегда является остроугольным.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; стороны $AB, BC, CA$; все углы $∠A, ∠B, ∠C$ — острые.

2. Прямоугольный треугольник

Это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90°$). Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; прямой угол $∠A = 90°$; катеты $AB$ и $AC$; гипотенуза $BC$.

3. Тупоугольный треугольник

Это треугольник, у которого один угол тупой (то есть больше $90°$). Два других угла в таком треугольнике всегда острые.

Элементы на рисунке: вершины $A, B, C$; тупой угол $∠B > 90°$; острые углы $∠A$ и $∠C$.

Ответ: Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой (вершинами), и тремя соединяющими их отрезками (сторонами). Основные элементы треугольника — это три вершины, три стороны и три угла. Виды треугольников определяются по длинам сторон (разносторонний, равнобедренный, равносторонний) и по величине углов (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный). У каждого вида есть свои уникальные элементы: у равнобедренного — боковые стороны и основание, у прямоугольного — катеты и гипотенуза.

6. Сколько признаков равенства треугольников существует? Сформулируйте их.

В школьном курсе евклидовой геометрии традиционно изучают три основных признака равенства треугольников. Ниже приведены их формулировки.

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС)

Формулировка: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, УСУ)

Формулировка: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, если $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам, ССС)

Формулировка: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, если $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Стоит отметить, что существуют и другие признаки равенства, которые являются следствиями основных. Например, признак равенства по двум углам и стороне, не прилежащей к ним (УУС), а также отдельные признаки для прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу и т.д.).

Ответ: Существует три основных признака равенства треугольников. Они основаны на равенстве следующих элементов двух треугольников: 1) двух сторон и угла между ними; 2) стороны и двух прилежащих к ней углов; 3) трех сторон.

7. Какая фигура называется выпуклым многоугольником?
Чему равна сумма внутренних и сумма внешних углов n-угольника?

Какая фигура называется выпуклым многоугольником?

Многоугольник называется выпуклым, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных определений:
1. Многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
2. Любой отрезок, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие многоугольнику, полностью содержится внутри этого многоугольника.

На рисунке слева показан выпуклый многоугольник. Какую бы сторону мы ни продолжили в прямую, весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой. На рисунке справа показан невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Прямая, содержащая одну из его сторон, пересекает многоугольник, разделяя его на части.

Ответ: Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей любую из его сторон.

Чему равна сумма внутренних углов n-угольника?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника (многоугольника с $n$ сторонами и $n$ вершинами) вычисляется по формуле:
$S_n = 180^\circ \cdot (n - 2)$
где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника, и $n \ge 3$.

Эту формулу можно вывести, разделив n-угольник на треугольники. Из одной произвольной вершины выпуклого n-угольника можно провести $n - 3$ диагонали. Эти диагонали разделяют многоугольник на $n - 2$ треугольника.

Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то сумма внутренних углов n-угольника будет равна сумме углов всех этих $n - 2$ треугольников.
Например:
Для треугольника ($n=3$): $S_3 = 180^\circ \cdot (3 - 2) = 180^\circ$
Для четырехугольника ($n=4$): $S_4 = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ$
Для пятиугольника ($n=5$): $S_5 = 180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ$

Ответ: Сумма внутренних углов n-угольника равна $180^\circ \cdot (n - 2)$.

Чему равна сумма внешних углов n-угольника?

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине. Он образуется одной из сторон и продолжением другой стороны, сходящейся в этой вершине.

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда постоянна и равна $360^\circ$.

Это можно доказать следующим образом. В каждой вершине сумма внутреннего угла $\alpha_i$ и смежного с ним внешнего угла $\beta_i$ равна $180^\circ$:
$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$
Просуммировав по всем $n$ вершинам, получим:
$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ = n \cdot 180^\circ$
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$
Мы знаем, что сумма внутренних углов $\sum \alpha_i = (n-2) \cdot 180^\circ$. Подставим это в уравнение:
$(n-2) \cdot 180^\circ + \sum \beta_i = n \cdot 180^\circ$
$n \cdot 180^\circ - 360^\circ + \sum \beta_i = n \cdot 180^\circ$
Отсюда, сумма внешних углов:
$\sum \beta_i = 360^\circ$

Ответ: Сумма внешних углов n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.

8. Какой четырехугольник называется параллелограммом? Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке.

Какой четырехугольник называется параллелограммом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие (противоположные) стороны попарно параллельны.

На рисунке показан четырехугольник $ABCD$. Он является параллелограммом, если выполнены условия: сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$), и сторона $AD$ параллельна стороне $BC$ ($AD \parallel BC$).

Ответ: Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Сформулируйте признаки параллелограмма и разъясните их смысл на рисунке

Признаки параллелограмма — это свойства, по которым можно установить, что четырехугольник является параллелограммом. Существует три основных признака.

1. Первый признак (по равенству и параллельности двух сторон)

Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Смысл на рисунке: для четырехугольника $ABCD$, если известно, что одна пара противолежащих сторон, например $AD$ и $BC$ (выделены синим), одновременно параллельна ($AD \parallel BC$) и равна по длине ($AD = BC$), то можно заключить, что $ABCD$ — это параллелограмм.

Ответ: Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

2. Второй признак (по попарному равенству сторон)

Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Смысл на рисунке: для четырехугольника $ABCD$, если известно, что противолежащие стороны попарно равны, то есть длина $AB$ равна длине $DC$ (выделены красным), и длина $AD$ равна длине $BC$ (выделены синим), то $ABCD$ — это параллелограмм.

Ответ: Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то это параллелограмм.

3. Третий признак (по диагоналям)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Смысл на рисунке: в четырехугольнике $ABCD$ проведены диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Если точка $O$ делит каждую диагональ на два равных отрезка, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$, то $ABCD$ — это параллелограмм.

Ответ: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

9. Что такое прямоугольник, ромб, квадрат? Какие их свойства вы знаете?

Прямоугольник

Определение: Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

Свойства прямоугольника:
1. Противоположные стороны равны и параллельны.
2. Все углы равны $90^\circ$.
3. Диагонали равны между собой.
4. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
5. Периметр прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле: $P = 2(a + b)$.
6. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: $S = a \cdot b$.

Ответ: Прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Его ключевые свойства: противоположные стороны равны, все углы равны $90^\circ$, диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам.

Ромб

Определение: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:
1. Все стороны равны.
2. Противоположные углы равны, а противоположные стороны параллельны.
3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
4. Диагонали являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).
5. Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
6. Периметр ромба со стороной $a$ вычисляется по формуле: $P = 4a$.
7. Площадь ромба через диагонали $d_1$ и $d_2$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

Ответ: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Его ключевые свойства: все стороны равны, диагонали взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат

Определение: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Также его можно определить как ромб, у которого все углы прямые.

Свойства квадрата:
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба одновременно:
1. Все стороны равны.
2. Все углы прямые ($90^\circ$).
3. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
4. Диагонали являются биссектрисами углов (делят их на углы по $45^\circ$).
5. Периметр квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле: $P = 4a$.
6. Площадь квадрата вычисляется по формуле: $S = a^2$.

Ответ: Квадрат — это правильный четырёхугольник, сочетающий свойства прямоугольника и ромба. У него все стороны равны, все углы прямые, а диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам в точке пересечения и являются биссектрисами углов.

10. Что такое средняя линия треугольника? Какие ее свойства вы знаете?

11.

Что такое средняя линия треугольника?
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Поскольку у треугольника три стороны, то в любом треугольнике можно провести три средние линии.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Точка $D$ является серединой стороны $AB$ (отмечено одинарными синими штрихами: $AD = DB$), а точка $E$ — серединой стороны $BC$ (отмечено двойными зелеными штрихами: $BE = EC$). Отрезок $DE$, выделенный красным цветом, является средней линией треугольника $ABC$.
Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон этого треугольника.

Какие ее свойства вы знаете?
Основные свойства средней линии треугольника описываются теоремой о средней линии:
1. Параллельность. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне (основанию), которую она не пересекает. Для треугольника $ABC$ на рисунке выше, средняя линия $DE$ параллельна стороне $AC$: $DE \parallel AC$.
2. Длина. Длина средней линии треугольника равна половине длины этой третьей стороны. Для того же треугольника, $DE = \frac{1}{2}AC$.

Из этой теоремы вытекает ряд важных следствий:
3. Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник. Например, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.
4. Три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) треугольника. Площадь каждого из них равна $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника.
5. Треугольник, образованный тремя средними линиями (так называемый срединный треугольник), подобен исходному, его периметр равен половине периметра исходного треугольника, а его площадь — одной четвертой площади исходного треугольника.
Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

11. Что такое трапеция? Какие ее виды и свойства вы знаете?

12.

Что такое трапеция?

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции (на рисунке ниже это стороны a и b).
Две другие стороны называются боковыми сторонами (на рисунке ниже это стороны c и d).
Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание (на рисунке это h).
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон (на рисунке это m).

Ответ: Трапеция – это четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны (основания), а две другие – нет (боковые стороны).

Какие ее виды и свойства вы знаете?

Виды трапеций:

1. Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

2. Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Эта сторона является и высотой трапеции.

3. Разносторонняя трапеция — трапеция, у которой все стороны имеют разную длину и нет прямых углов.

Свойства трапеции (для любой трапеции):

1. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Если в трапеции ABCD основаниями являются $AD$ и $BC$, то $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.
2. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m = \frac{a+b}{2}$.
3. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии, параллелен основаниям и равен их полуразности: $\frac{a-b}{2}$ (где $a > b$).
4. Диагонали трапеции точкой пересечения делятся на отрезки, пропорциональные основаниям.
5. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями, подобны. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь.
6. Площадь трапеции можно найти по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = m \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота, $m$ - средняя линия.

Свойства равнобедренной трапеции (в дополнение к общим):

1. Углы при каждом основании равны.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание, делит его на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований $\frac{a-b}{2}$, а больший — полусумме оснований $\frac{a+b}{2}$.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность. И наоборот, если около трапеции можно описать окружность, то она равнобедренная.

Ответ: Виды трапеций: равнобедренная (боковые стороны равны), прямоугольная (одна боковая сторона перпендикулярна основаниям) и разносторонняя. Основные свойства: сумма углов у боковой стороны — $180^\circ$; средняя линия равна полусумме оснований; площадь — произведение полусуммы оснований на высоту. У равнобедренной трапеции также равны углы при основании и диагонали, и вокруг нее можно описать окружность.

12. Какими свойствами обладают четырехугольники, описанные около окружности и вписанные в нее?

Четырехугольники, о которых идет речь в вопросе, делятся на два типа: описанные около окружности и вписанные в окружность. Каждый из этих типов обладает своими уникальными свойствами.

Четырехугольники, описанные около окружности

Четырехугольник называется описанным около окружности (или касательным), если все его четыре стороны касаются этой окружности. Такая окружность называется вписанной в четырехугольник.

Основное свойство (теорема Пито): В выпуклом четырехугольнике можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Если стороны четырехугольника $ABCD$ обозначить как $a, b, c, d$ ($a = AB, b = BC, c = CD, d = DA$), то для описанного четырехугольника выполняется равенство:
$a + c = b + d$
Это свойство следует из того, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Если обозначить точки касания на сторонах $AB, BC, CD, DA$ как $P, Q, R, S$ соответственно, то $AP=AS, BP=BQ, CQ=CR, DR=DS$. Суммируя противоположные стороны, получаем:
$AB+CD = (AP+PB) + (CR+RD) = (AS+BQ) + (CQ+DS) = (AS+DS) + (BQ+CQ) = DA+BC$.

Еще одно свойство касается площади. Площадь $S$ описанного четырехугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр четырехугольника ($p = (a+b+c+d)/2$), а $r$ — радиус вписанной окружности.

Ответ: Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы его противоположных сторон равны ($AB+CD=BC+DA$).

Четырехугольники, вписанные в окружность

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его четыре вершины лежат на этой окружности. Такая окружность называется описанной около четырехугольника.

Основное свойство: Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Для вписанного четырехугольника $ABCD$ с углами $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ (или $\alpha, \beta, \gamma, \delta$) выполняются равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$
Это свойство следует из теоремы о вписанном угле, который равен половине дуги, на которую он опирается. Углы $\angle A$ и $\angle C$ опираются на дуги, которые в сумме составляют всю окружность ($360^\circ$). Следовательно, $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } DAB = \frac{1}{2} (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Аналогично для углов $\angle B$ и $\angle D$.

Другие важные свойства вписанных четырехугольников:
Теорема Птолемея: Произведение диагоналей ($d_1, d_2$) вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон ($a, b, c, d$): $d_1 \cdot d_2 = ac + bd$.
Формула Брахмагупты для площади: Площадь $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ можно вычислить по формуле: $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.

Ответ: Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$).

13. Напишите теорему Пифагора и постройте треугольник, соответствующий этой теореме.

Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$

Напишите теорему Пифагора

Теорема Пифагора — это фундаментальное соотношение в евклидовой геометрии, устанавливающее связь между сторонами прямоугольного треугольника.

Словесная формулировка теоремы: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, которая лежит напротив прямого угла) равен сумме квадратов длин катетов (сторон, прилежащих к прямому углу).

Если катеты обозначить буквами $a$ и $b$, а гипотенузу — буквой $c$, то теорема записывается следующей формулой:

$a^2 + b^2 = c^2$

Ответ: Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: $a^2 + b^2 = c^2$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза.

постройте треугольник, соответствующий этой теореме

Ниже изображен прямоугольный треугольник, который иллюстрирует теорему Пифагора. Стороны этого треугольника обозначены в соответствии с общепринятыми в формуле буквами.

На данном чертеже стороны $a$ и $b$ — это катеты, так как они образуют прямой угол (отмечен квадратиком). Сторона $c$ — это гипотенуза, она лежит напротив прямого угла. Для этого треугольника выполняется соотношение: $a^2 + b^2 = c^2$.

Ответ: Выше представлен чертеж прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$, который соответствует теореме Пифагора.

14. Укажите связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника.

Связь между тригонометрическими функциями острого угла и сторонами прямоугольного треугольника устанавливается через определения этих функций как отношений длин сторон. Чтобы их определить, рассмотрим прямоугольный треугольник, его стороны и один из острых углов.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Стороны, противолежащие вершинам $A$, $B$ и $C$, обозначим как $a$, $b$ и $c$ соответственно. В этом случае $a$ и $b$ являются катетами, а $c$ — гипотенузой.

Для острого угла $\alpha$ (при вершине A):

• катет $a$ (сторона $BC$) является противолежащим этому углу;

• катет $b$ (сторона $AC$) является прилежащим к этому углу;

• сторона $c$ (сторона $AB$) — гипотенуза.

Тригонометрические функции для острого угла $\alpha$ определяются следующим образом:

Синус (sin)

Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Ответ: Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус (cos)

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Ответ: Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс (tg или tan)

Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

$\text{tg } \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Ответ: Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенс (ctg или cot)

Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего катета.

$\text{ctg } \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}} = \frac{b}{a}$

Ответ: Котангенс острого угла — это отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

15. Напишите значения тригонометрических функций угла, равного $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60° воспользуемся геометрическими определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса через стороны прямоугольного треугольника.

30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен $a$, тогда гипотенуза равна $2a$. Второй катет найдем по теореме Пифагора: $\sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Для угла 30°: противолежащий катет равен $a$, прилежащий катет равен $a\sqrt{3}$, гипотенуза равна $2a$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(30°) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(30°) = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(30°) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(30°) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\cot(30°) = \sqrt{3}$.

45°

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого острые углы равны 45°. Пусть его катеты равны $a$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Для угла 45°: противолежащий катет равен $a$, прилежащий катет равен $a$, гипотенуза равна $a\sqrt{2}$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(45°) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(45°) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(45°) = \frac{a}{a} = 1$.
Ответ: $\tan(45°) = 1$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(45°) = \frac{a}{a} = 1$.
Ответ: $\cot(45°) = 1$.

60°

Воспользуемся тем же прямоугольным треугольником с углами 30°, 60° и 90°, что и для угла 30°.

Для угла 60°: противолежащий катет равен $a\sqrt{3}$, прилежащий катет равен $a$, гипотенуза равна $2a$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(60°) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\tan(60°) = \sqrt{3}$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(60°) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\cot(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

16. Запишите формулы нахождения площади прямоугольника, треугольника, параллелограмма и трапеции. Назовите и укажите на рисунках элементы, применяемые в этих формулах. Постройте соответствующий рисунок.

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. На рисунке: $a$ — длина прямоугольника, $b$ — ширина прямоугольника.
Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$
Ответ: $S = a \cdot b$

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. На рисунке: $a$ — основание треугольника, $h$ — высота, проведенная к основанию $a$.
Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$
Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h$

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. На рисунке: $a$ — сторона (основание) параллелограмма, $h$ — высота, проведенная к стороне $a$.
Формула площади параллелограмма: $S = a \cdot h$
Ответ: $S = a \cdot h$

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. На рисунке: $a$ и $b$ — основания трапеции (параллельные стороны), $h$ — высота трапеции.
Формула площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$