Номер 4, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Какие признаки параллельности прямых вы знаете? Сформулируйте их.

Признаки параллельности прямых — это теоремы, которые позволяют определить, являются ли две прямые на плоскости параллельными, основываясь на свойствах углов, образованных при их пересечении третьей прямой (секущей).

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$ и пересекающую их секущую $c$.

При пересечении образуются следующие виды углов:

• Накрест лежащие углы: лежат по разные стороны от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. На рисунке это пары ( $\angle 4$ и $\angle 6$ ) и ( $\angle 3$ и $\angle 5$ ).
• Соответственные углы: лежат по одну сторону от секущей $c$, один между прямыми $a$ и $b$, другой — нет. На рисунке это пары ( $\angle 1$ и $\angle 5$ ), ( $\angle 2$ и $\angle 6$ ), ( $\angle 4$ и $\angle 8$ ), ( $\angle 3$ и $\angle 7$ ).
• Односторонние углы: лежат по одну сторону от секущей $c$ между прямыми $a$ и $b$. На рисунке это пары ( $\angle 4$ и $\angle 5$ ) и ( $\angle 3$ и $\angle 6$ ).

Основные признаки параллельности прямых:

1. По накрест лежащим углам
Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 4 = \angle 6 $ или $ \angle 3 = \angle 5 $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. По соответственным углам
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 1 = \angle 5 $, или $ \angle 2 = \angle 6 $, или $ \angle 4 = \angle 8 $, или $ \angle 3 = \angle 7 $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. По односторонним углам
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. На рисунке, если $ \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ $ или $ \angle 3 + \angle 6 = 180^\circ $, то $a \parallel b$.
Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Существует и другой важный признак:

4. Через перпендикулярность третьей прямой
Две прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. То есть, если существует прямая $c$ такая, что $a \perp c$ и $b \perp c$, то $a \parallel b$.
Ответ: Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.