Номер 10, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое средняя линия треугольника? Какие ее свойства вы знаете?

11.

Что такое средняя линия треугольника?
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Поскольку у треугольника три стороны, то в любом треугольнике можно провести три средние линии.

На рисунке изображен треугольник $ABC$. Точка $D$ является серединой стороны $AB$ (отмечено одинарными синими штрихами: $AD = DB$), а точка $E$ — серединой стороны $BC$ (отмечено двойными зелеными штрихами: $BE = EC$). Отрезок $DE$, выделенный красным цветом, является средней линией треугольника $ABC$.
Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон этого треугольника.

Какие ее свойства вы знаете?
Основные свойства средней линии треугольника описываются теоремой о средней линии:
1. Параллельность. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне (основанию), которую она не пересекает. Для треугольника $ABC$ на рисунке выше, средняя линия $DE$ параллельна стороне $AC$: $DE \parallel AC$.
2. Длина. Длина средней линии треугольника равна половине длины этой третьей стороны. Для того же треугольника, $DE = \frac{1}{2}AC$.

Из этой теоремы вытекает ряд важных следствий:
3. Средняя линия отсекает от исходного треугольника подобный ему треугольник. Например, треугольник $DBE$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.
4. Три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) треугольника. Площадь каждого из них равна $\frac{1}{4}$ площади исходного треугольника.
5. Треугольник, образованный тремя средними линиями (так называемый срединный треугольник), подобен исходному, его периметр равен половине периметра исходного треугольника, а его площадь — одной четвертой площади исходного треугольника.
Ответ: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.