Номер 7, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Какая фигура называется выпуклым многоугольником?
Чему равна сумма внутренних и сумма внешних углов n-угольника?

Какая фигура называется выпуклым многоугольником?

Многоугольник называется выпуклым, если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных определений:
1. Многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону.
2. Любой отрезок, соединяющий две произвольные точки, принадлежащие многоугольнику, полностью содержится внутри этого многоугольника.

На рисунке слева показан выпуклый многоугольник. Какую бы сторону мы ни продолжили в прямую, весь многоугольник окажется по одну сторону от этой прямой. На рисунке справа показан невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Прямая, содержащая одну из его сторон, пересекает многоугольник, разделяя его на части.

Ответ: Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей любую из его сторон.

Чему равна сумма внутренних углов n-угольника?

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника (многоугольника с $n$ сторонами и $n$ вершинами) вычисляется по формуле:
$S_n = 180^\circ \cdot (n - 2)$
где $n$ — количество углов (или сторон) многоугольника, и $n \ge 3$.

Эту формулу можно вывести, разделив n-угольник на треугольники. Из одной произвольной вершины выпуклого n-угольника можно провести $n - 3$ диагонали. Эти диагонали разделяют многоугольник на $n - 2$ треугольника.

Так как сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, то сумма внутренних углов n-угольника будет равна сумме углов всех этих $n - 2$ треугольников.
Например:
Для треугольника ($n=3$): $S_3 = 180^\circ \cdot (3 - 2) = 180^\circ$
Для четырехугольника ($n=4$): $S_4 = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ$
Для пятиугольника ($n=5$): $S_5 = 180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ$

Ответ: Сумма внутренних углов n-угольника равна $180^\circ \cdot (n - 2)$.

Чему равна сумма внешних углов n-угольника?

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине. Он образуется одной из сторон и продолжением другой стороны, сходящейся в этой вершине.

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда постоянна и равна $360^\circ$.

Это можно доказать следующим образом. В каждой вершине сумма внутреннего угла $\alpha_i$ и смежного с ним внешнего угла $\beta_i$ равна $180^\circ$:
$\alpha_i + \beta_i = 180^\circ$
Просуммировав по всем $n$ вершинам, получим:
$\sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = \sum_{i=1}^{n} 180^\circ = n \cdot 180^\circ$
$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \cdot 180^\circ$
Мы знаем, что сумма внутренних углов $\sum \alpha_i = (n-2) \cdot 180^\circ$. Подставим это в уравнение:
$(n-2) \cdot 180^\circ + \sum \beta_i = n \cdot 180^\circ$
$n \cdot 180^\circ - 360^\circ + \sum \beta_i = n \cdot 180^\circ$
Отсюда, сумма внешних углов:
$\sum \beta_i = 360^\circ$

Ответ: Сумма внешних углов n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$.