Номер 12, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Какими свойствами обладают четырехугольники, описанные около окружности и вписанные в нее?

Четырехугольники, о которых идет речь в вопросе, делятся на два типа: описанные около окружности и вписанные в окружность. Каждый из этих типов обладает своими уникальными свойствами.

Четырехугольники, описанные около окружности

Четырехугольник называется описанным около окружности (или касательным), если все его четыре стороны касаются этой окружности. Такая окружность называется вписанной в четырехугольник.

Основное свойство (теорема Пито): В выпуклом четырехугольнике можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Если стороны четырехугольника $ABCD$ обозначить как $a, b, c, d$ ($a = AB, b = BC, c = CD, d = DA$), то для описанного четырехугольника выполняется равенство:
$a + c = b + d$
Это свойство следует из того, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. Если обозначить точки касания на сторонах $AB, BC, CD, DA$ как $P, Q, R, S$ соответственно, то $AP=AS, BP=BQ, CQ=CR, DR=DS$. Суммируя противоположные стороны, получаем:
$AB+CD = (AP+PB) + (CR+RD) = (AS+BQ) + (CQ+DS) = (AS+DS) + (BQ+CQ) = DA+BC$.

Еще одно свойство касается площади. Площадь $S$ описанного четырехугольника можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр четырехугольника ($p = (a+b+c+d)/2$), а $r$ — радиус вписанной окружности.

Ответ: Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы его противоположных сторон равны ($AB+CD=BC+DA$).

Четырехугольники, вписанные в окружность

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его четыре вершины лежат на этой окружности. Такая окружность называется описанной около четырехугольника.

Основное свойство: Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Для вписанного четырехугольника $ABCD$ с углами $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ (или $\alpha, \beta, \gamma, \delta$) выполняются равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$
Это свойство следует из теоремы о вписанном угле, который равен половине дуги, на которую он опирается. Углы $\angle A$ и $\angle C$ опираются на дуги, которые в сумме составляют всю окружность ($360^\circ$). Следовательно, $\angle A + \angle C = \frac{1}{2} \text{дуги } BCD + \frac{1}{2} \text{дуги } DAB = \frac{1}{2} (\text{дуга } BCD + \text{дуга } DAB) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Аналогично для углов $\angle B$ и $\angle D$.

Другие важные свойства вписанных четырехугольников:
Теорема Птолемея: Произведение диагоналей ($d_1, d_2$) вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон ($a, b, c, d$): $d_1 \cdot d_2 = ac + bd$.
Формула Брахмагупты для площади: Площадь $S$ вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ можно вычислить по формуле: $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$, где $p$ — полупериметр.

Ответ: Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$ ($\angle A + \angle C = 180^\circ$, $\angle B + \angle D = 180^\circ$).