Номер 15, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Напишите значения тригонометрических функций угла, равного $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$.

Для нахождения значений тригонометрических функций для углов 30°, 45° и 60° воспользуемся геометрическими определениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса через стороны прямоугольного треугольника.

30°

Рассмотрим прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Пусть этот катет равен $a$, тогда гипотенуза равна $2a$. Второй катет найдем по теореме Пифагора: $\sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Для угла 30°: противолежащий катет равен $a$, прилежащий катет равен $a\sqrt{3}$, гипотенуза равна $2a$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(30°) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(30°) = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(30°) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(30°) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\cot(30°) = \sqrt{3}$.

45°

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого острые углы равны 45°. Пусть его катеты равны $a$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза равна $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Для угла 45°: противолежащий катет равен $a$, прилежащий катет равен $a$, гипотенуза равна $a\sqrt{2}$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(45°) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(45°) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(45°) = \frac{a}{a} = 1$.
Ответ: $\tan(45°) = 1$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(45°) = \frac{a}{a} = 1$.
Ответ: $\cot(45°) = 1$.

60°

Воспользуемся тем же прямоугольным треугольником с углами 30°, 60° и 90°, что и для угла 30°.

Для угла 60°: противолежащий катет равен $a\sqrt{3}$, прилежащий катет равен $a$, гипотенуза равна $2a$.

Синус (отношение противолежащего катета к гипотенузе): $\sin(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус (отношение прилежащего катета к гипотенузе): $\cos(60°) = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$.

Тангенс (отношение противолежащего катета к прилежащему): $\tan(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\tan(60°) = \sqrt{3}$.

Котангенс (отношение прилежащего катета к противолежащему): $\cot(60°) = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\cot(60°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.