Номер 0.5, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.5. Какую фигуру можно построить, последовательно соединяя середины сторон: 1) параллелограмма; 2) прямоугольника; 3) ромба; 4) квадрата? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Вариньона, которая утверждает, что четырёхугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом. Ниже приведена иллюстрация для произвольного четырёхугольника $ABCD$. Фигура $KLMN$, полученная соединением середин его сторон, является параллелограммом.

Обоснование теоремы Вариньона: Пусть $ABCD$ — исходный четырёхугольник, а $K, L, M, N$ — середины его сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно.В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ является его средней линией. По свойству средней линии, $KL$ параллельна диагонали $AC$ и равна её половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.Таким образом, $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. По признаку параллелограмма (если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырёхугольник $KLMN$ — параллелограмм.Точно так же, рассматривая треугольники $ABD$ и $BCD$, можно показать, что $KN \parallel BD$ и $LM \parallel BD$, а также $KN = LM = \frac{1}{2}BD$.Стороны полученного параллелограмма $KLMN$ параллельны диагоналям исходного четырёхугольника $ABCD$, а их длины равны половинам длин этих диагоналей. Угол между смежными сторонами параллелограмма $KLMN$ равен углу между диагоналями $ABCD$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) параллелограмма

Пусть исходная фигура — параллелограмм $ABCD$. Согласно теореме Вариньона, фигура $KLMN$, образованная серединами его сторон, является параллелограммом. В общем случае у параллелограмма диагонали не равны ($AC \neq BD$) и не перпендикулярны. Следовательно, стороны полученного параллелограмма $KLMN$ ($KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$) не обязательно равны, и его углы не обязательно прямые. Таким образом, в общем случае получится параллелограмм. Ответ: параллелограмм.

2) прямоугольника

Пусть исходная фигура — прямоугольник $ABCD$. Прямоугольник является параллелограммом, у которого диагонали равны: $AC = BD$. Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон прямоугольника, является параллелограммом. Длины его смежных сторон равны $KL = \frac{1}{2}AC$ и $KN = \frac{1}{2}BD$. Так как $AC = BD$, то $KL = KN$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Ответ: ромб.

3) ромба

Пусть исходная фигура — ромб $ABCD$. Ромб является параллелограммом, у которого диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$. Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон ромба, является параллелограммом. Его стороны параллельны диагоналям исходного ромба: $KL \parallel AC$ и $KN \parallel BD$. Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то и смежные стороны $KL$ и $KN$ полученного параллелограмма также перпендикулярны. Параллелограмм с прямыми углами является прямоугольником. Ответ: прямоугольник.

4) квадрата

Пусть исходная фигура — квадрат $ABCD$. Квадрат является одновременно и прямоугольником, и ромбом. Следовательно, он обладает свойствами обоих: его диагонали равны ($AC = BD$) и перпендикулярны ($AC \perp BD$). Фигура $KLMN$, соединяющая середины сторон квадрата, будет обладать свойствами фигуры, полученной из прямоугольника, и фигуры, полученной из ромба.
1. Так как исходная фигура — прямоугольник (диагонали равны), то $KLMN$ — ромб (все стороны равны).
2. Так как исходная фигура — ромб (диагонали перпендикулярны), то $KLMN$ — прямоугольник (все углы прямые).
Четырёхугольник, который одновременно является ромбом и прямоугольником, — это квадрат. Ответ: квадрат.