Номер 0.9, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.9. В прямоугольном треугольнике $a$ и $b$ - катеты, $c$ - гипотенуза, а $\alpha$ - угол, противоположный катету $a$. Найдите неизвестные элементы по заданным:

1) $a = 4$ см, $b = 3$ см;

2) $a = 12$ см, $c = 13$ см;

3) $\alpha = 30^\circ$, $c = 40$ см;

4) $\alpha = 45^\circ$, $b = 4$ см;

5) $\alpha = 60^\circ$, $b = 5$ см;

6) $c = 10$ дм, $b = 6$ дм.

Для решения задач будем использовать следующие обозначения и формулы для прямоугольного треугольника:
- $a, b$ — катеты;
- $c$ — гипотенуза;
- $\alpha$ — острый угол, противолежащий катету $a$;
- $\beta$ — острый угол, противолежащий катету $b$;
- Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$;
- Сумма острых углов: $\alpha + \beta = 90^\circ$;
- Тригонометрические соотношения: $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$, $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$, $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$.

1) a = 4 см, b = 3 см;
Даны два катета. Необходимо найти гипотенузу $c$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, используя тангенс, так как $\tan(\alpha) = \frac{a}{b}$:
$\tan(\alpha) = \frac{4}{3}$. Отсюда $\alpha = \arctan(\frac{4}{3}) \approx 53.13^\circ$.
3. Находим угол $\beta$ из соотношения $\alpha + \beta = 90^\circ$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 53^\circ$ и $\beta \approx 37^\circ$.
Ответ: $c = 5$ см, $\alpha \approx 53^\circ$, $\beta \approx 37^\circ$.

2) a = 12 см, c = 13 см;
Даны катет $a$ и гипотенуза $c$. Необходимо найти катет $b$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим катет $b$ по теореме Пифагора:
$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.
2. Находим угол $\alpha$, используя синус, так как $\sin(\alpha) = \frac{a}{c}$:
$\sin(\alpha) = \frac{12}{13}$. Отсюда $\alpha = \arcsin(\frac{12}{13}) \approx 67.38^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 67.38^\circ = 22.62^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 67^\circ$ и $\beta \approx 23^\circ$.
Ответ: $b = 5$ см, $\alpha \approx 67^\circ$, $\beta \approx 23^\circ$.

3) α = 30°, c = 40 см;
Даны угол $\alpha$ и гипотенуза $c$. Необходимо найти катеты $a$, $b$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
2. Находим катет $a$ (противолежащий углу $\alpha$):
$a = c \cdot \sin(\alpha) = 40 \cdot \sin(30^\circ) = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ см.
3. Находим катет $b$ (прилежащий к углу $\alpha$):
$b = c \cdot \cos(\alpha) = 40 \cdot \cos(30^\circ) = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ см.
Ответ: $a = 20$ см, $b = 20\sqrt{3}$ см, $\beta = 60^\circ$.

4) α = 45°, b = 4 см;
Даны угол $\alpha$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
2. Так как $\alpha = \beta = 45^\circ$, треугольник является равнобедренным, поэтому катеты равны:
$a = b = 4$ см.
3. Находим гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.
Ответ: $a = 4$ см, $c = 4\sqrt{2}$ см, $\beta = 45^\circ$.

5) α = 60°, b = 5 см;
Даны угол $\alpha$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$, гипотенузу $c$ и угол $\beta$.
1. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
2. Находим катет $a$, используя тангенс:
$\tan(\alpha) = \frac{a}{b} \Rightarrow a = b \cdot \tan(\alpha) = 5 \cdot \tan(60^\circ) = 5\sqrt{3}$ см.
3. Находим гипотенузу $c$, используя косинус:
$\cos(\alpha) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{5}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{1/2} = 10$ см.
Ответ: $a = 5\sqrt{3}$ см, $c = 10$ см, $\beta = 30^\circ$.

6) c = 10 дм, b = 6 дм.
Даны гипотенуза $c$ и катет $b$. Необходимо найти катет $a$ и острые углы $\alpha$ и $\beta$.
1. Находим катет $a$ по теореме Пифагора:
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ дм.
2. Находим угол $\alpha$, используя косинус, так как $\cos(\alpha) = \frac{b}{c}$:
$\cos(\alpha) = \frac{6}{10} = 0.6$. Отсюда $\alpha = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ$.
3. Находим угол $\beta$:
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 90^\circ - 53.13^\circ = 36.87^\circ$.
Округляя до целых, получаем $\alpha \approx 53^\circ$ и $\beta \approx 37^\circ$.
Ответ: $a = 8$ дм, $\alpha \approx 53^\circ$, $\beta \approx 37^\circ$.