Номер 0.15, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.15. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине B и биссектриса угла C треугольника ABC пересекаются под углом, равным $\frac{1}{2} \angle A$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ с углами $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Пусть $CK$ — биссектриса внутреннего угла $C$ треугольника $ABC$, а $BK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$. Точка $K$ — точка их пересечения.

Рассмотрим треугольник $BKC$. Сумма его углов равна $180^\circ$:$\angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ$.

Найдем величины углов $\angle KBC$ и $\angle KCB$ через углы треугольника $ABC$.

1. Угол $\angle KCB$.Поскольку $CK$ — биссектриса угла $C$, она делит угол пополам:$\angle KCB = \frac{1}{2}\angle C$.

2. Угол $\angle KBC$.Продлим сторону $AB$ за точку $B$ до точки $D$. Внешний угол при вершине $B$ — это $\angle DBC$.Величина внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$\angle DBC = \angle A + \angle C$.Поскольку $BK$ — биссектриса внешнего угла $\angle DBC$, она делит этот угол пополам. Угол $\angle KBC$ является одной из этих половин:$\angle KBC = \frac{1}{2}\angle DBC = \frac{1}{2}(\angle A + \angle C)$.

3. Найдем угол $\angle BKC$.Подставим выражения для $\angle KBC$ и $\angle KCB$ в формулу суммы углов треугольника $BKC$:$\angle BKC + \frac{1}{2}(\angle A + \angle C) + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$$\angle BKC + \frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle C + \frac{1}{2}\angle C = 180^\circ$$\angle BKC + \frac{1}{2}\angle A + \angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle BKC$:$\angle BKC = 180^\circ - \angle C - \frac{1}{2}\angle A$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ мы знаем, что $180^\circ - \angle C = \angle A + \angle B$. Подставим это в наше выражение:$\angle BKC = (\angle A + \angle B) - \frac{1}{2}\angle A = \frac{1}{2}\angle A + \angle B$.

Полученный результат $\frac{1}{2}\angle A + \angle B$ отличается от того, что требовалось доказать. Это говорит о возможной опечатке в условии задачи. В классическом варианте этой задачи рассматривается пересечение биссектрисы внутреннего угла $B$ и биссектрисы внешнего угла $C$ (или наоборот). Докажем утверждение для этой, более стандартной, формулировки.

Доказательство для скорректированной задачи:Докажем, что биссектриса внутреннего угла $B$ и биссектриса внешнего угла $C$ треугольника $ABC$ пересекаются под углом, равным $\frac{1}{2}\angle A$.

Пусть $BK$ — биссектриса внутреннего угла $B$, а $CK$ — биссектриса внешнего угла $C$.Рассмотрим $\triangle BKC$.$\angle KBC = \frac{1}{2}\angle B$.Внешний угол при вершине $C$ равен $\angle A + \angle B$. Его биссектриса $CK$ образует с продолжением стороны $BC$ угол, равный $\frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$. Угол $\angle KCB$ в $\triangle BKC$ является смежным с ним и равен $180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$.Сумма углов в $\triangle BKC$:$\angle BKC + \angle KBC + \angle KCB = 180^\circ$$\angle BKC + \frac{1}{2}\angle B + \left(180^\circ - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)\right) = 180^\circ$$\angle BKC + \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle A - \frac{1}{2}\angle B = 0$$\angle BKC - \frac{1}{2}\angle A = 0$$\angle BKC = \frac{1}{2}\angle A$.

Это и требовалось доказать для скорректированной версии задачи.

Ответ:Доказательство для задачи в исходной формулировке приводит к результату $\angle BKC = \frac{1}{2}\angle A + \angle B$. Утверждение, приведённое в задаче, верно для биссектрисы внутреннего угла $B$ и внешнего угла $C$ (или наоборот). В этом случае угол их пересечения действительно равен $\frac{1}{2}\angle A$.