Номер 0.19, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.19. Постройте квадрат по диагонали.

Для построения квадрата по его диагонали с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Анализ и план построения

Пусть нам дан отрезок $d$, который является диагональю искомого квадрата $ABCD$. Назовем эту диагональ $AC$. Вторая диагональ $BD$ должна удовлетворять следующим условиям:
1. Она должна быть равна по длине диагонали $AC$ ($BD = AC = d$).
2. Она должна быть перпендикулярна диагонали $AC$ ($BD \perp AC$).
3. Она должна проходить через середину диагонали $AC$.

Таким образом, задача сводится к построению серединного перпендикуляра к данной диагонали $AC$, а затем откладыванию на нем отрезков, равных половине $AC$, в обе стороны от точки пересечения.

Пошаговое построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, равный длине данной диагонали $d$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности с радиусом, большим половины длины $AC$ (например, равным самой $AC$). Точки пересечения этих дуг определяют прямую, которая является серединным перпендикуляром к $AC$. Пусть эта прямая пересекает $AC$ в точке $O$.

3. Точка $O$ является центром квадрата. Вторая диагональ $BD$ лежит на построенном перпендикуляре.

4. Так как диагонали квадрата равны и делятся точкой пересечения пополам, то $OB = OD = OA = OC$. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$.

5. Отложим это расстояние на серединном перпендикуляре в обе стороны от точки $O$, получив точки $B$ и $D$. Проще всего это сделать, проведя окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$. Точки пересечения этой окружности с перпендикулярной прямой и будут вершинами $B$ и $D$.

6. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство

Рассмотрим полученный четырехугольник $ABCD$.
По построению, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Это означает, что $AC \perp BD$ и точка $O$ является серединой $AC$ ($AO = OC$).
Точки $B$ и $D$ были построены на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$. Следовательно, $OB = OD = OA$.
Таким образом, мы имеем $OA = OB = OC = OD$. Отсюда следует, что диагонали $AC = AO + OC = 2OA$ и $BD = BO + OD = 2OB$ равны между собой. Также они делятся точкой пересечения $O$ пополам.
Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.
Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — квадрат.

Ответ: Построение квадрата по заданной диагонали $AC$ выполняется путем построения ее серединного перпендикуляра, на котором находятся две другие вершины $B$ и $D$ на расстоянии, равном половине диагонали ($OA$) от ее центра $O$.