Номер 0.22, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.22. Заданы треугольник $ABC$ и точки $D$ и $E$, являющиеся серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите середину стороны $BC$, пользуясь только линейкой.

0.22. Для нахождения середины стороны BC с помощью одной лишь линейки, зная середины двух других сторон (D на AB и E на AC), необходимо выполнить следующую последовательность построений.

Построение:
1. Провести прямую через точки B и E.
2. Провести прямую через точки C и D.
3. Отметить точку пересечения этих двух прямых. Обозначим её O.
4. Провести прямую через вершину A и точку O.
5. Точка, в которой прямая AO пересекает сторону BC, является искомой серединой стороны BC. Обозначим эту точку M.

Обоснование:
По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поскольку точка D — середина стороны AB, то отрезок CD является медианой треугольника ABC. Аналогично, поскольку точка E — середина стороны AC, то отрезок BE также является медианой треугольника ABC. Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. В нашем построении точка O является точкой пересечения двух медиан (BE и CD), следовательно, O — центроид треугольника ABC. Третья медиана, проведенная из вершины A к стороне BC, также должна проходить через центроид O. Таким образом, прямая, проходящая через точки A и O, содержит третью медиану треугольника. Точка пересечения этой медианы со стороной BC (точка M) и есть её середина.

Это также можно доказать с помощью теоремы Чевы. Три отрезка (чевианы) AM, BE и CD, выходящие из вершин треугольника, пересекаются в одной точке O. Согласно теореме Чевы, для них выполняется следующее соотношение: $$ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$ Так как D — середина AB, то $AD = DB$, и отношение $\frac{AD}{DB} = 1$. Так как E — середина AC, то $CE = EA$, и отношение $\frac{CE}{EA} = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $$ 1 \cdot \frac{BM}{MC} \cdot 1 = 1 $$ Из этого уравнения следует, что $\frac{BM}{MC} = 1$, что означает $BM = MC$. Следовательно, точка M является серединой стороны BC.

Ответ: Искомая середина стороны BC — это точка M, полученная как точка пересечения стороны BC с прямой, проходящей через вершину A и точку O, где O — точка пересечения отрезков BE и CD.