Номер 0.17, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Докажите, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.

Для доказательства этого утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее популярных и наглядных способа.

Способ 1: Достроение до прямоугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$. $AB$ — гипотенуза, а $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе. По определению медианы, точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$, то есть $AM = MB$. Требуется доказать, что $CM = \frac{1}{2}AB$.

Достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ADBC$. Для этого через вершину $A$ проведем прямую, параллельную катету $BC$, и через вершину $B$ — прямую, параллельную катету $AC$. Точку их пересечения обозначим $D$.

По построению, в четырехугольнике $ADBC$ противоположные стороны попарно параллельны ($AD \parallel CB$ и $AC \parallel DB$), следовательно, $ADBC$ — это параллелограмм. Так как $\angle C = 90^\circ$, то этот параллелограмм является прямоугольником (поскольку параллелограмм с одним прямым углом — прямоугольник).

Воспользуемся свойством прямоугольника: его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. В прямоугольнике $ADBC$ диагоналями являются отрезки $AB$ и $CD$.

Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, которая является одной из диагоналей. Следовательно, точка $M$ — это точка пересечения диагоналей. Это означает, что $M$ также является серединой диагонали $CD$.

Поскольку диагонали равны ($AB = CD$) и делятся в точке $M$ пополам, то равны и их половины: $AM = MB = CM = MD$.

Из равенства $CM = AM$ (или $CM = MB$) и того, что $AB = AM + MB = 2AM$, напрямую следует, что $CM = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, утверждение доказано первым способом.

Способ 2: Использование описанной окружности

Рассмотрим тот же прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ с прямым углом при вершине $C$ и медианой $CM$.

Известно, что вокруг любого треугольника можно описать окружность. Вписанный угол, равный $90^\circ$, всегда опирается на диаметр окружности. Так как в нашем треугольнике $\angle C = 90^\circ$, то гипотенуза $AB$ является диаметром окружности, описанной около $\triangle ABC$.

Центр описанной окружности всегда лежит на середине ее диаметра. Следовательно, середина гипотенузы $AB$, то есть точка $M$, является центром этой окружности.

По определению окружности, все точки на ней равноудалены от ее центра. Вершины $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности, а точка $M$ — ее центр. Следовательно, отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ являются радиусами этой окружности.

Отсюда следует, что $MA = MB = MC$.

Так как $M$ — середина гипотенузы $AB$, то $AB = 2MA$. Поскольку $MC = MA$, мы можем заключить, что $MC = \frac{1}{2}AB$.

Таким образом, утверждение доказано и вторым способом.

Ответ: Утверждение, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине, доказано.