Номер 0.13, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.13. Найдите площадь ромба, сторона и одна из диагоналей которого равны 4 см.

Пусть дан ромб со стороной $a$ и одной из диагоналей $d_1$. По условию задачи, их длины равны 4 см, то есть $a = 4$ см и $d_1 = 4$ см.

Назовем ромб $ABCD$. Все его стороны равны $a$. Пусть диагональ $BD$ будет той, длина которой равна стороне, то есть $BD = 4$ см.

Диагональ $BD$ делит ромб на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Его стороны: $AB = 4$ см, $AD = 4$ см (как стороны ромба) и $BD = 4$ см (по условию).

Так как все три стороны треугольника $\triangle ABD$ равны, он является равносторонним.

Площадь ромба $S_{ABCD}$ складывается из площадей двух таких равных равносторонних треугольников ($\triangle ABD$ и $\triangle CBD$).

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу значение стороны $a = 4$ см: $S_{\triangle ABD} = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \sqrt{3}}{4} = 4 \sqrt{3}$ см².

Площадь всего ромба равна удвоенной площади одного треугольника: $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{\triangle ABD} = 2 \cdot 4 \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$ см².

Альтернативный способ (через диагонали)

Площадь ромба также можно найти по формуле через его диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Одна диагональ нам известна: $d_1 = 4$ см. Нам нужно найти вторую диагональ $d_2$ (на рисунке это диагональ $AC$).

Свойство ромба гласит, что его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOD$. Его гипотенуза — это сторона ромба $AD = 4$ см. Один из катетов — это половина диагонали $d_1$, то есть $OD = \frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см. Второй катет $AO$ — это половина второй диагонали $d_2$.

Применим теорему Пифагора: $AD^2 = AO^2 + OD^2$.

$4^2 = AO^2 + 2^2$

$16 = AO^2 + 4$

$AO^2 = 16 - 4 = 12$

$AO = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \sqrt{3}$ см.

Длина второй диагонали $d_2 = AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь ромба: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3}$ см².

Ответ: $8 \sqrt{3}$ см².