Номер 0.25, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. Диагонали ромба равны 10 см и $10\sqrt{3}$ см. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб ABCD, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке O. По условию задачи, длины диагоналей равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 10\sqrt{3}$ см.

Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами: они взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Пусть $AC = 10\sqrt{3}$ см и $BD = 10$ см. Тогда половины диагоналей будут равны:

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, например, $\triangle AOB$. В нем $\angle AOB = 90^\circ$, а катеты равны $AO = 5\sqrt{3}$ см и $BO = 5$ см. Мы можем найти углы этого треугольника, используя тригонометрические функции. Найдем тангенс угла $\angle OAB$:

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, это $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов. Значит, полный угол ромба $\angle DAB$ вдвое больше угла $\angle OAB$:

$\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма соседних углов равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба, $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Противолежащие углы в ромбе равны, поэтому углы ромба составляют две пары равных углов: $\angle DAB = \angle BCD = 60^\circ$ и $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.