Номер 0.26, страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.26. Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

Его периметр $P$ и площадь $S$ вычисляются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

Согласно условию задачи, периметр $P$ является постоянной величиной. Пусть $P = const$. Из формулы периметра следует, что полупериметр (сумма смежных сторон) также является постоянной величиной:

$a + b = \frac{P}{2} = const$

Выразим одну из сторон через другую, например, $b$ через $a$:

$b = \frac{P}{2} - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади. Площадь $S$ становится функцией от длины стороны $a$:

$S(a) = a \cdot \left(\frac{P}{2} - a\right) = -a^2 + \frac{P}{2}a$

Мы получили квадратичную функцию $S(a)$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая соответствует вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $S(a)$ имеем $A = -1$ и $B = \frac{P}{2}$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{\frac{P}{2}}{2 \cdot (-1)} = \frac{P}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение стороны $b$:

$b = \frac{P}{2} - a = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{2P - P}{4} = \frac{P}{4}$

Таким образом, площадь прямоугольника достигает своего максимального значения, когда его стороны равны: $a = b = \frac{P}{4}$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Следовательно, среди всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для заданного периметра $P$ площадь $S=ab$ максимальна, когда $a=b$, то есть когда прямоугольник является квадратом.