Страница 9 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.18. Периметр ромба равен 16 см, высота 2 см. Найдите углы ромба.

По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Зная периметр ромба $P = 16$ см, можно найти длину его стороны $a$.

Периметр вычисляется по формуле $P = 4a$. Отсюда:

$a = \frac{P}{4} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Высота ромба $h$, проведенная к одной из сторон, образует вместе с прилежащей стороной $a$ прямоугольный треугольник. В этом треугольнике сторона ромба $a$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, противолежащим острому углу ромба, который мы обозначим как $\alpha$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла $\alpha$ получаем:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{a} = \frac{2 \text{ см}}{4 \text{ см}} = \frac{1}{2}$

Из этого соотношения находим, что острый угол ромба равен $\alpha = 30^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба (как и у любого параллелограмма), равна $180^\circ$. Следовательно, тупой угол ромба, который мы обозначим как $\beta$, равен:

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны. Таким образом, углы ромба — это два острых угла по $30^\circ$ и два тупых угла по $150^\circ$.

Ответ: $30^\circ, 150^\circ, 30^\circ, 150^\circ$.

0.19. Постройте квадрат по диагонали.

Для построения квадрата по его диагонали с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах диагоналей квадрата: они равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.

Анализ и план построения

Пусть нам дан отрезок $d$, который является диагональю искомого квадрата $ABCD$. Назовем эту диагональ $AC$. Вторая диагональ $BD$ должна удовлетворять следующим условиям:
1. Она должна быть равна по длине диагонали $AC$ ($BD = AC = d$).
2. Она должна быть перпендикулярна диагонали $AC$ ($BD \perp AC$).
3. Она должна проходить через середину диагонали $AC$.

Таким образом, задача сводится к построению серединного перпендикуляра к данной диагонали $AC$, а затем откладыванию на нем отрезков, равных половине $AC$, в обе стороны от точки пересечения.

Пошаговое построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AC$, равный длине данной диагонали $d$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого из точек $A$ и $C$ как из центров проведем две дуги окружности с радиусом, большим половины длины $AC$ (например, равным самой $AC$). Точки пересечения этих дуг определяют прямую, которая является серединным перпендикуляром к $AC$. Пусть эта прямая пересекает $AC$ в точке $O$.

3. Точка $O$ является центром квадрата. Вторая диагональ $BD$ лежит на построенном перпендикуляре.

4. Так как диагонали квадрата равны и делятся точкой пересечения пополам, то $OB = OD = OA = OC$. С помощью циркуля измерим расстояние $OA$.

5. Отложим это расстояние на серединном перпендикуляре в обе стороны от точки $O$, получив точки $B$ и $D$. Проще всего это сделать, проведя окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$. Точки пересечения этой окружности с перпендикулярной прямой и будут вершинами $B$ и $D$.

6. Последовательно соединим отрезками точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Доказательство

Рассмотрим полученный четырехугольник $ABCD$.
По построению, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Это означает, что $AC \perp BD$ и точка $O$ является серединой $AC$ ($AO = OC$).
Точки $B$ и $D$ были построены на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$. Следовательно, $OB = OD = OA$.
Таким образом, мы имеем $OA = OB = OC = OD$. Отсюда следует, что диагонали $AC = AO + OC = 2OA$ и $BD = BO + OD = 2OB$ равны между собой. Также они делятся точкой пересечения $O$ пополам.
Четырехугольник, диагонали которого равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.
Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — квадрат.

Ответ: Построение квадрата по заданной диагонали $AC$ выполняется путем построения ее серединного перпендикуляра, на котором находятся две другие вершины $B$ и $D$ на расстоянии, равном половине диагонали ($OA$) от ее центра $O$.

0.20. Докажите, что каждый треугольник можно разделить на две части так, что из этих частей можно составить параллелограмм.

Для доказательства разделим произвольный треугольник на две части с помощью одного прямолинейного разреза и покажем, как из этих частей сложить параллелограмм.

1. Построение разреза.
Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Выберем любые две его стороны, например $AB$ и $BC$, и найдем их середины — точки $M$ и $N$ соответственно. Соединим эти точки отрезком $MN$. Этот отрезок является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, $MN$ параллельна третьей стороне $AC$ и равна ее половине ($MN \parallel AC$, $MN = \frac{1}{2}AC$).
Разрез по отрезку $MN$ делит исходный треугольник $ABC$ на две фигуры: маленький треугольник $MBN$ и трапецию $AMNC$.

2. Сборка параллелограмма.
Возьмем отрезанный треугольник $MBN$ и совершим его поворот на $180^\circ$ вокруг точки $M$ (середины стороны $AB$). При таком преобразовании:
- Точка $M$ останется на месте.
- Точка $B$ перейдет в точку $A$, так как $M$ — середина отрезка $AB$.
- Точка $N$ перейдет в новую точку $N'$, такую, что $M$ станет серединой отрезка $NN'$.
В результате поворота треугольник $MBN$ преобразуется в равный ему треугольник $MAN'$.
Теперь приложим полученный треугольник $MAN'$ к трапеции $AMNC$ так, чтобы их общая сторона $AM$ совпала. В результате образуется новый четырехугольник $N'ACN$.

3. Доказательство, что полученная фигура — параллелограмм.
Докажем, что четырехугольник $N'ACN$ является параллелограммом. Для этого достаточно показать, что его противолежащие стороны попарно параллельны.
- Стороны $N'A$ и $NC$. Сторона $N'A$ была получена поворотом стороны $NB$. Поворот на $180^\circ$ переводит отрезок в параллельный ему отрезок, поэтому $N'A \parallel NB$. Точки $N$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой (стороне $BC$ исходного треугольника), значит, отрезок $NB$ лежит на прямой $BC$. Следовательно, $N'A \parallel NC$.
- Стороны $N'N$ и $AC$. Прямая $N'N$ проходит через точки $N'$, $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому он параллелен стороне $AC$. Так как все три точки лежат на одной прямой, то и вся прямая $N'N$ параллельна стороне $AC$.
Поскольку у четырехугольника $N'ACN$ обе пары противолежащих сторон параллельны, по определению он является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что любой треугольник можно разделить на две части (треугольник и трапецию), из которых можно составить параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.

0.21. Основания равнобокой трапеции равны 17 см и 27 см, а острый угол равен $60^\circ$. Найдите ее периметр.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, большее основание $AD = 27$ см, меньшее основание $BC = 17$ см, а острый угол при основании равен $60^\circ$. Поскольку трапеция равнобокая, ее боковые стороны равны ($AB = CD$), а углы при большем основании равны, то есть $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Периметр трапеции $P$ — это сумма длин всех ее сторон: $P = AD + BC + AB + CD$. Так как боковые стороны равны, обозначим их длину как $c$ ($AB = CD = c$). Тогда формула периметра будет: $P = AD + BC + 2c$.

Для нахождения длины боковой стороны $c$, проведем из вершин меньшего основания $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$.

Четырехугольник $HBCK$ является прямоугольником, поскольку $BH \perp AD$, $CK \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Следовательно, отрезок $HK$ равен по длине меньшему основанию: $HK = BC = 17$ см.

Треугольники $ABH$ и $DCK$ являются прямоугольными. Так как трапеция равнобокая, они равны друг другу по гипотенузе ($AB=CD$) и катету ($BH=CK$). Из этого следует, что отрезки $AH$ и $KD$ также равны. Длину каждого из этих отрезков можно найти, вычтя из длины большего основания длину меньшего и разделив результат на два:$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{27 - 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известен катет $AH=5$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A = 60^\circ$. Гипотенузу $AB$, которая является боковой стороной трапеции $c$, можно найти, используя косинус угла $A$:$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$Подставим известные значения:$\cos(60^\circ) = \frac{5}{c}$

Зная, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:$\frac{1}{2} = \frac{5}{c}$

Решая это уравнение, находим $c$:$c = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Теперь, когда известны длины всех сторон трапеции, мы можем вычислить ее периметр:$P = AD + BC + 2c = 27 + 17 + 2 \cdot 10 = 44 + 20 = 64$ см.

Ответ: 64 см.

0.22. Заданы треугольник $ABC$ и точки $D$ и $E$, являющиеся серединами сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите середину стороны $BC$, пользуясь только линейкой.

0.22. Для нахождения середины стороны BC с помощью одной лишь линейки, зная середины двух других сторон (D на AB и E на AC), необходимо выполнить следующую последовательность построений.

Построение:
1. Провести прямую через точки B и E.
2. Провести прямую через точки C и D.
3. Отметить точку пересечения этих двух прямых. Обозначим её O.
4. Провести прямую через вершину A и точку O.
5. Точка, в которой прямая AO пересекает сторону BC, является искомой серединой стороны BC. Обозначим эту точку M.

Обоснование:
По определению, медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Поскольку точка D — середина стороны AB, то отрезок CD является медианой треугольника ABC. Аналогично, поскольку точка E — середина стороны AC, то отрезок BE также является медианой треугольника ABC. Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. В нашем построении точка O является точкой пересечения двух медиан (BE и CD), следовательно, O — центроид треугольника ABC. Третья медиана, проведенная из вершины A к стороне BC, также должна проходить через центроид O. Таким образом, прямая, проходящая через точки A и O, содержит третью медиану треугольника. Точка пересечения этой медианы со стороной BC (точка M) и есть её середина.

Это также можно доказать с помощью теоремы Чевы. Три отрезка (чевианы) AM, BE и CD, выходящие из вершин треугольника, пересекаются в одной точке O. Согласно теореме Чевы, для них выполняется следующее соотношение: $$ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$ Так как D — середина AB, то $AD = DB$, и отношение $\frac{AD}{DB} = 1$. Так как E — середина AC, то $CE = EA$, и отношение $\frac{CE}{EA} = 1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $$ 1 \cdot \frac{BM}{MC} \cdot 1 = 1 $$ Из этого уравнения следует, что $\frac{BM}{MC} = 1$, что означает $BM = MC$. Следовательно, точка M является серединой стороны BC.

Ответ: Искомая середина стороны BC — это точка M, полученная как точка пересечения стороны BC с прямой, проходящей через вершину A и точку O, где O — точка пересечения отрезков BE и CD.

0.23. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является ромбом.

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$.

По условию задачи, в данный параллелограмм можно вписать окружность. Это значит, что параллелограмм является описанным четырехугольником.

Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пито, которая гласит, что суммы длин его противолежащих сторон равны. Применим эту теорему к нашему параллелограмму $ABCD$:
$AB + CD = BC + AD$.

Теперь используем свойство параллелограмма ($AB = CD$ и $BC = AD$) и подставим его в равенство из теоремы Пито. Заменим $CD$ на $AB$, а $AD$ на $BC$:
$AB + AB = BC + BC$
$2 \cdot AB = 2 \cdot BC$
$AB = BC$

Из этого следует, что смежные стороны параллелограмма $AB$ и $BC$ равны. Так как в параллелограмме противолежащие стороны также равны, то все его стороны равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он является описанным четырехугольником. По свойству описанного четырехугольника, суммы его противолежащих сторон равны ($AB + CD = BC + AD$). Учитывая, что в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), получаем $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$, откуда следует, что смежные стороны равны ($AB = BC$). Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.

0.24. На рис. 0.1 дано изображение станции «Жибек Жолы» в метрополитене г. Алматы. Станция глубокого заложения (глубина 30 м). Состоит из трех залов – центрального и двух боковых, которые образуют общую основную платформу шириной 19,8 м, длиной 104 м. Спуск и подъем на станцию осуществляется по эскалаторам (4 ленты) высотой 28,5 м, длиной 57 м. Определите угол наклона эскалатора.

Рис 0.1

Для определения угла наклона эскалатора будем рассматривать его как гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Катетами этого треугольника являются высота подъема и его горизонтальная проекция. Из условия задачи известны длина эскалатора, которая является гипотенузой ($l$), и его высота, которая является катетом, противолежащим искомому углу наклона ($h$).

Искомый угол наклона $α$ — это угол между гипотенузой ($l = 57$ м) и горизонталью. Высота $h = 28,5$ м является противолежащим катетом для этого угла. Связь между углом, противолежащим катетом и гипотенузой устанавливает тригонометрическая функция синуса:

$sin(α) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Подставим известные значения в формулу:

$sin(α) = \frac{h}{l} = \frac{28,5 \text{ м}}{57 \text{ м}}$

Выполним вычисление:

$sin(α) = 0,5$

Чтобы найти сам угол $α$, необходимо вычислить арксинус от полученного значения:

$α = \arcsin(0,5)$

Значение арксинуса от 0,5 является табличным и составляет 30 градусов.

$α = 30°$

Ответ: угол наклона эскалатора составляет $30°$.

0.25. Диагонали ромба равны 10 см и $10\sqrt{3}$ см. Найдите углы ромба.

Пусть дан ромб ABCD, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке O. По условию задачи, длины диагоналей равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 10\sqrt{3}$ см.

Диагонали ромба обладают двумя важными свойствами: они взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника.

Пусть $AC = 10\sqrt{3}$ см и $BD = 10$ см. Тогда половины диагоналей будут равны:

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, например, $\triangle AOB$. В нем $\angle AOB = 90^\circ$, а катеты равны $AO = 5\sqrt{3}$ см и $BO = 5$ см. Мы можем найти углы этого треугольника, используя тригонометрические функции. Найдем тангенс угла $\angle OAB$:

$\tan(\angle OAB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BO}{AO} = \frac{5}{5\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, это $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAB = 30^\circ$.

Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов. Значит, полный угол ромба $\angle DAB$ вдвое больше угла $\angle OAB$:

$\angle DAB = 2 \cdot \angle OAB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

В ромбе, как и в любом параллелограмме, сумма соседних углов равна $180^\circ$. Найдем второй угол ромба, $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Противолежащие углы в ромбе равны, поэтому углы ромба составляют две пары равных углов: $\angle DAB = \angle BCD = 60^\circ$ и $\angle ABC = \angle ADC = 120^\circ$.

Ответ: углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

0.26. Докажите, что среди всех прямоугольников с одинаковыми периметрами наибольшую площадь имеет квадрат.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

Его периметр $P$ и площадь $S$ вычисляются по формулам:

$P = 2(a + b)$

$S = a \cdot b$

Согласно условию задачи, периметр $P$ является постоянной величиной. Пусть $P = const$. Из формулы периметра следует, что полупериметр (сумма смежных сторон) также является постоянной величиной:

$a + b = \frac{P}{2} = const$

Выразим одну из сторон через другую, например, $b$ через $a$:

$b = \frac{P}{2} - a$

Теперь подставим это выражение в формулу площади. Площадь $S$ становится функцией от длины стороны $a$:

$S(a) = a \cdot \left(\frac{P}{2} - a\right) = -a^2 + \frac{P}{2}a$

Мы получили квадратичную функцию $S(a)$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при старшем члене ($a^2$) отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума, которая соответствует вершине параболы.

Абсцисса вершины параболы вида $y = Ax^2 + Bx + C$ находится по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. Для нашей функции $S(a)$ имеем $A = -1$ и $B = \frac{P}{2}$. Найдем значение $a$, при котором площадь будет максимальной:

$a = -\frac{\frac{P}{2}}{2 \cdot (-1)} = \frac{P}{4}$

Теперь найдем соответствующее значение стороны $b$:

$b = \frac{P}{2} - a = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{2P - P}{4} = \frac{P}{4}$

Таким образом, площадь прямоугольника достигает своего максимального значения, когда его стороны равны: $a = b = \frac{P}{4}$. Прямоугольник, у которого все стороны равны, является квадратом.

Следовательно, среди всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для заданного периметра $P$ площадь $S=ab$ максимальна, когда $a=b$, то есть когда прямоугольник является квадратом.

0.27. Площадь параллелограмма равна $7 \text{ см}^2$, его смежные стороны равны $4 \text{ см}$ и $7 \text{ см}$. Найдите его высоту и острый угол.

По условию задачи даны площадь параллелограмма $S = 7$ см², и длины его смежных сторон $a = 4$ см и $b = 7$ см. Требуется найти его высоты и острый угол.

Нахождение высот

Параллелограмм имеет две различные высоты, проведенные к каждой из смежных сторон. Обозначим их $h_a$ (высота, опущенная на сторону $a$) и $h_b$ (высота, опущенная на сторону $b$).

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Найдем высоту $h_a$, проведенную к стороне $a = 4$ см:
$S = a \cdot h_a$
$7 = 4 \cdot h_a$
$h_a = \frac{7}{4} = 1,75$ см.

2. Найдем высоту $h_b$, проведенную к стороне $b = 7$ см:
$S = b \cdot h_b$
$7 = 7 \cdot h_b$
$h_b = \frac{7}{7} = 1$ см.

Таким образом, высоты параллелограмма равны 1 см и 1,75 см.

Нахождение острого угла

Площадь параллелограмма также можно вычислить по формуле через две смежные стороны и синус угла $\alpha$ между ними:
$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в эту формулу:
$7 = 4 \cdot 7 \cdot \sin(\alpha)$
$7 = 28 \cdot \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

Поскольку по условию требуется найти острый угол, его значение $\alpha$ будет равно арксинусу полученного значения.
$\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$

Ответ: высоты параллелограмма равны 1 см и 1,75 см; острый угол равен $\arcsin(\frac{1}{4})$.