Номер 0.33, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.33. Докажите, что четырехугольник, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Пусть дан четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD являются биссектрисами его углов. Это означает, что диагональ AC делит угол A на два равных угла ($\angle BAC = \angle DAC$) и угол C на два равных угла ($\angle BCA = \angle DCA$). Аналогично, диагональ BD делит угол B на два равных угла ($\angle ABD = \angle CBD$) и угол D на два равных угла ($\angle ADB = \angle CDB$).

Для доказательства того, что ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$ и треугольник $\triangle ADC$. У них сторона AC является общей. По условию, диагональ AC — биссектриса, поэтому $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$ и треугольник $\triangle CBD$. У них сторона BD является общей. По условию, диагональ BD — биссектриса, поэтому $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle ADB = \angle CDB$. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AD = CD$.

Объединяя полученные результаты, мы имеем следующую систему равенств:
1) $AB = AD$
2) $BC = DC$
3) $AB = BC$
Из этих равенств следует, что $AB = BC = CD = AD$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Рассматривая пары треугольников, на которые каждая диагональ делит четырехугольник ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, а также $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$), можно установить их равенство по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Из равенства треугольников следует равенство всех сторон четырехугольника ($AB = BC = CD = DA$), что по определению означает, что данный четырехугольник является ромбом.