Номер 0.36, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.36. Докажите, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Пусть D — диаметр описанной окружности, а d — диаметр вписанной окружности. Требуется доказать, что $D + d = a + b$.

1. Диаметр описанной окружности

Известно, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника является серединой его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Тогда диаметр D этой окружности равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

Таким образом, диаметр описанной окружности прямоугольного треугольника равен его гипотенузе.

2. Диаметр вписанной окружности

Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Докажем эту формулу.Пусть вписанная окружность касается катетов AC и BC в точках M и N, а гипотенузы AB — в точке K. Пусть I — центр вписанной окружности.

Четырехугольник CMIN является квадратом, так как у него все углы прямые (∠C=90°, ∠CMI=∠CNI=90° как углы между радиусом и касательной) и смежные стороны IM и IN равны как радиусы. Следовательно, $CM = CN = r$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

$AM = AK$ и $BN = BK$.

Длины катетов можно выразить следующим образом:

$b = AC = AM + MC = AM + r \implies AM = b - r$

$a = BC = BN + NC = BN + r \implies BN = a - r$

Гипотенуза c равна сумме отрезков AK и BK:

$c = AB = AK + BK = AM + BN = (b-r) + (a-r)$

Из этого уравнения выразим $2r$:

$c = a + b - 2r$

$2r = a + b - c$

Диаметр вписанной окружности $d = 2r$, следовательно:

$d = a + b - c$

3. Сумма диаметров

Теперь сложим полученные выражения для диаметров D и d:

$D + d = c + (a + b - c)$

$D + d = c + a + b - c$

$D + d = a + b$

Таким образом, доказано, что сумма диаметров описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна сумме его катетов. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма диаметров $D+d$ равна $c + (a+b-c)$, что равно $a+b$.