Номер 0.34, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.34. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Задача на построение треугольника по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, решается с помощью метода достроения до параллелограмма.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны длины двух сторон, например $AC = b$ и $BC = a$, а также длина медианы $CM = m_c$, проведенной к третьей стороне $AB$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Продолжим медиану $CM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$, так что $MD = CM$. В результате получим отрезок $CD$ длиной $2m_c$.

Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Его диагонали $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина $AB$. По нашему построению, $M$ — середина $CD$. Так как диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Следовательно, $AD = BC = a$ и $BD = AC = b$.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник $ACD$. Длины всех его трех сторон нам известны: $AC = b$, $AD = a$, и $CD = 2m_c$. Такой треугольник мы можем построить по трем сторонам.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACD$, после чего мы легко найдем положение вершины $B$.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $CD$, длина которого равна $2m_c$.

2. Делим отрезок $CD$ пополам и отмечаем его середину — точку $M$.

3. Из точки $C$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $b$.

4. Из точки $D$ как из центра проводим дугу окружности радиусом $a$.

5. Точку пересечения этих двух дуг обозначаем как $A$.

6. Соединяем точку $A$ с точками $C$ и $D$, получая вспомогательный треугольник $ACD$.

7. Проводим луч из точки $A$ через точку $M$.

8. На этом луче откладываем отрезок $MB$, равный по длине отрезку $AM$.

9. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ имеет длину $b$ по построению (шаги 3 и 5). Рассмотрим четырехугольник $ADBC$. Точка $M$ является серединой диагонали $CD$ (по построению, шаг 2) и серединой диагонали $AB$ (по построению, шаги 7-8). Так как диагонали четырехугольника $ADBC$ в точке пересечения делятся пополам, то $ADBC$ — это параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $BC = AD$. По построению (шаги 4-5), длина $AD$ равна $a$. Значит, $BC = a$. Отрезок $CM$ соединяет вершину $C$ с серединой $M$ противолежащей стороны $AB$, следовательно, $CM$ является медианой. Ее длина равна половине длины отрезка $CD$, то есть $CM = \frac{1}{2} \cdot (2m_c) = m_c$. Таким образом, треугольник $ABC$ имеет заданные стороны $a$ и $b$ и медиану $m_c$ к третьей стороне. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $ACD$. Для того чтобы треугольник со сторонами $a$, $b$ и $2m_c$ существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства треугольника:

$a + b > 2m_c$

$a + 2m_c > b$

$b + 2m_c > a$

Если эти условия выполняются, то дуги окружностей на шаге 5 построения пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $CD$. Это дает два конгруэнтных треугольника, которые являются решением задачи. Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $a + b = 2m_c$), точка $A$ окажется на отрезке $CD$, и треугольник будет вырожденным. Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется (например, $a + b < 2m_c$), то дуги не пересекутся, и задача решений не имеет.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится с помощью вспомогательного треугольника $ACD$, стороны которого равны $AC=b$, $AD=a$ и $CD=2m_c$. Вершина $B$ искомого треугольника находится как точка, симметричная точке $A$ относительно точки $M$ (середины $CD$). Построение возможно при условии, что длины отрезков $a, b, 2m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника.