Номер 0.38, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.38. Докажите, что в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов противоположных сторон равны между собой.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.

Требуется доказать, что суммы квадратов противоположных сторон равны, то есть $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$.

Поскольку диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$), они образуют в точке пересечения $O$ прямые углы. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ разделяется на четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$.

Применим теорему Пифагора к каждому из этих треугольников:

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$: $AB^2 = AO^2 + BO^2$

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle BOC$: $BC^2 = BO^2 + CO^2$

3. В прямоугольном треугольнике $\triangle COD$: $CD^2 = CO^2 + DO^2$

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle DOA$: $DA^2 = DO^2 + AO^2$

Теперь составим сумму квадратов одной пары противоположных сторон, $AB^2$ и $CD^2$, используя полученные выше выражения:

$AB^2 + CD^2 = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2)$

Составим сумму квадратов другой пары противоположных сторон, $BC^2$ и $DA^2$:

$BC^2 + DA^2 = (BO^2 + CO^2) + (DO^2 + AO^2)$

Сравнивая правые части обоих равенств, мы видим, что они состоят из одних и тех же четырех слагаемых: $AO^2$, $BO^2$, $CO^2$ и $DO^2$.

$AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2 = AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2$

Следовательно, левые части этих выражений также равны между собой:

$AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями суммы квадратов длин противоположных сторон действительно равны.