Номер 1.1, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.1. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Какие из векторов с началом и концом в вершинах параллелограмма и точке $O$:

1) лежат на прямой $BD$;

2) параллельны прямой $AD$;

3) коллинеарны вектору $\vec{AB}$;

4) равны вектору $\vec{CB}$;

5) равны вектору $\vec{OC}$?

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны параллельны ($AB \parallel DC$, $AD \parallel BC$) и равны по длине ($AB = DC$, $AD = BC$). Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($AO=OC$, $BO=OD$).

Визуализируем параллелограмм:

1) лежат на прямой $BD$

Вектор лежит на прямой, если его начало и конец принадлежат этой прямой. Прямой $BD$ принадлежат точки $B$, $D$ и точка пересечения диагоналей $O$. Следовательно, искомые векторы — это все ненулевые векторы, которые можно составить из точек $B$, $O$ и $D$.

Ответ: $\vec{BD}$, $\vec{DB}$, $\vec{BO}$, $\vec{OB}$, $\vec{DO}$, $\vec{OD}$.

2) параллельны прямой $AD$

Вектор параллелен прямой, если он лежит на этой прямой или на прямой, параллельной данной. В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$). Значит, нам подходят векторы, лежащие на прямых $AD$ и $BC$.

Ответ: $\vec{AD}$, $\vec{DA}$, $\vec{BC}$, $\vec{CB}$.

3) коллинеарны вектору $\vec{AB}$

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Вектор $\vec{AB}$ лежит на прямой $AB$. В параллелограмме $ABCD$ прямая $DC$ параллельна прямой $AB$ ($DC \parallel AB$). Следовательно, искомые векторы должны лежать на прямых $AB$ или $DC$.

Ответ: $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, $\vec{DC}$, $\vec{CD}$.

4) равны вектору $\vec{CB}$

Равные векторы должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и иметь равные длины (модули). Вектор $\vec{CB}$ направлен от точки $C$ к точке $B$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть $AD = BC$ и $AD \parallel BC$. Вектор $\vec{DA}$ направлен от $D$ к $A$. Его направление совпадает с направлением вектора $\vec{CB}$, а его длина $|\vec{DA}| = AD = BC = |\vec{CB}|$. Таким образом, эти векторы равны.

Ответ: $\vec{DA}$.

5) равны вектору $\vec{OC}$

Равные векторы должны быть сонаправлены и иметь равные длины. Вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к точке $C$. По свойству параллелограмма, диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $O$ является серединой диагонали $AC$. Это означает, что $AO = OC$. Вектор $\vec{AO}$ направлен от $A$ к $O$. Так как точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, то векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Их длины также равны: $|\vec{AO}| = AO = OC = |\vec{OC}|$. Следовательно, векторы равны.

Ответ: $\vec{AO}$.