Номер 1.6, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.6. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите длины векторов $\vec{BC}, \vec{CD}, \vec{AC}, \vec{AO}, \vec{CO}, \vec{DO}$, если $AB = 6 \text{ см}$, $AD = 8 \text{ см}$.

Дано: $ABCD$ – прямоугольник, в котором диагонали пересекаются в точке $O$. Длины сторон $AB = 6$ см и $AD = 8$ см.

Длина вектора – это длина отрезка, который он представляет. Для решения задачи используем свойства прямоугольника: противолежащие стороны равны ($AB=CD$, $BC=AD$), все углы прямые, диагонали равны ($AC=BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC=BO=OD$).

Длина вектора $\vec{BC}$
Длина вектора $\vec{BC}$ равна длине стороны $BC$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, следовательно, $BC = AD$. По условию $AD = 8$ см.
Ответ: $|\vec{BC}| = 8$ см.

Длина вектора $\vec{CD}$
Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине стороны $CD$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, следовательно, $CD = AB$. По условию $AB = 6$ см.
Ответ: $|\vec{CD}| = 6$ см.

Длина вектора $\vec{AC}$
Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle D = 90^\circ$). По теореме Пифагора:$AC^2 = AD^2 + CD^2$$AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$AC = \sqrt{100} = 10$ см.
Ответ: $|\vec{AC}| = 10$ см.

Длина вектора $\vec{AO}$
В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{AO}| = 5$ см.

Длина вектора $\vec{CO}$
Так как точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то $CO = AO$.$CO = 5$ см.
Ответ: $|\vec{CO}| = 5$ см.

Длина вектора $\vec{DO}$
В прямоугольнике диагонали равны ($AC = BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $DO = \frac{1}{2} BD$.Так как $BD = AC = 10$ см, то $DO = \frac{1}{2} \times 10 = 5$ см.
Ответ: $|\vec{DO}| = 5$ см.