Номер 1.9, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. В трапеции $ABCD$ $ \angle A = 90^\circ $, $ \angle D = 45^\circ $, $ AD = 12 $ см, $ AB = 5 $ см. Найдите длину векторов $ \overrightarrow{BD} $, $ \overrightarrow{CD} $ и $ \overrightarrow{AC} $.

По условию задачи, дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Так как $ \angle A = 90^\circ $, трапеция является прямоугольной, и ее боковая сторона $AB$ одновременно является высотой. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, поэтому нам нужно найти длины отрезков $BD$, $CD$ и $AC$.

Для решения задачи опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$.

Четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поскольку $AB \perp AD$, $CH \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Из этого следует, что $CH = AB = 5$ см, а $AH = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $ \angle CHD = 90^\circ $ и, по условию, $ \angle D = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит, $ \angle DCH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, и, следовательно, $HD = CH = 5$ см.

Длина основания $AD$ состоит из длин отрезков $AH$ и $HD$. Мы можем найти $AH$:

$AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь, зная все необходимые размеры, мы можем вычислить длины искомых векторов.

$\vec{BD}$

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (с прямым углом $A$). Применим теорему Пифагора:

$|\vec{BD}| = BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: $13$ см.

$\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине боковой стороны $CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:

$|\vec{CD}| = CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

$\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (с прямым углом $H$). Мы нашли, что $AH = 7$ см и $CH = 5$ см. По теореме Пифагора:

$|\vec{AC}| = AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ см.

Ответ: $\sqrt{74}$ см.