Номер 1.14, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.14. Пусть диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Что можно сказать о четырехугольнике $ABCD$, если $\vec{AB} = \vec{DC}$ и:

1) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$;

2) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ и $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$?

Сначала проанализируем общее условие для обоих пунктов: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что они коллинеарны (сонаправлены) и их длины равны.

1. Коллинеарность векторов означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны, т.е. $AB \parallel DC$.

2. Равенство длин векторов означает, что $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$, или $AB = DC$.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$

Из основного условия мы знаем, что $ABCD$ — параллелограмм. Условие $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ означает, что векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ перпендикулярны. Вектор $\vec{AO}$ является частью диагонали $AC$, а вектор $\vec{BO}$ — частью диагонали $BD$. Таким образом, перпендикулярность этих векторов означает, что диагонали $AC$ и $BD$ также перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, по определению является ромбом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

2) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ и $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$

Как и в первом пункте, условие $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ для параллелограмма $ABCD$ означает, что он является ромбом.

Рассмотрим второе условие: $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$. Это означает, что длины отрезков $AO$ и $BO$ равны. Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то полная длина диагонали $AC$ равна $2 \cdot AO$, а полная длина диагонали $BD$ равна $2 \cdot BO$.

Из равенства $AO = BO$ следует, что $2 \cdot AO = 2 \cdot BO$, то есть $AC = BD$. Диагонали четырехугольника равны.

Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является одновременно и ромбом (так как его диагонали перпендикулярны), и прямоугольником (так как его диагонали равны). Фигура, обладающая свойствами и ромба, и прямоугольника, — это квадрат.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является квадратом.