Номер 1.12, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.12. Как можно отложить вектор $\vec{a}$ от точки C? (Рассмотрите отдельно случаи, когда вектор $\vec{a}$ и точка C :

а) расположены на одной прямой;

б) не расположены на одной прямой.)

Чтобы отложить (построить) вектор $\vec{a}$ от точки C, необходимо найти такую точку D, чтобы вектор $\vec{CD}$ был равен данному вектору $\vec{a}$. Равенство векторов означает, что они должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и их длины (модули) должны быть равны, то есть $|\vec{CD}| = |\vec{a}|$. Способ построения зависит от взаимного расположения исходного вектора и точки.

а) вектор $\vec{a}$ и точка С расположены на одной прямой

Пусть вектор $\vec{a}$ задан направленным отрезком $\vec{AB}$, и все три точки (начало вектора A, конец вектора B и точка C) лежат на одной прямой $l$.

Построение выполняется следующим образом:

1. На прямой $l$ от точки C откладывается отрезок CD, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$. Это можно сделать с помощью циркуля, измерив расстояние между точками A и B и отложив его от точки C.

2. Направление отрезка CD должно совпадать с направлением вектора $\vec{a}$. Если вектор $\vec{a}$ направлен от A к B, то искомый вектор $\vec{CD}$ должен быть направлен от C к D в ту же сторону вдоль прямой $l$.

В результате будет построен вектор $\vec{CD}$, который равен вектору $\vec{a}$.

Ответ: Необходимо на прямой, где лежат вектор $\vec{a}$ и точка C, отложить от точки C отрезок CD, равный по длине вектору $\vec{a}$ и сонаправленный с вектором $\vec{a}$.

б) вектор $\vec{a}$ и точка С не расположены на одной прямой

Пусть вектор $\vec{a}$ представлен направленным отрезком $\vec{AB}$, а точка C не лежит на прямой, проходящей через точки A и B.

В этом случае для построения искомого вектора $\vec{CD}$ используется правило параллелограмма. Построение можно выполнить так:

1. Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB (на которой лежит вектор $\vec{a}$).

2. На этой параллельной прямой от точки C отложить отрезок CD, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$ ($|CD| = |AB|$).

3. Направление отрезка CD должно совпадать с направлением вектора $\vec{a}$.

В результате будет найдена точка D, такая, что четырёхугольник ACDB является параллелограммом (так как $\vec{AC}$ будет равен и параллелен $\vec{BD}$). Искомый вектор $\vec{CD}$ будет равен вектору $\vec{AB}$ (то есть $\vec{a}$).

Практическое построение с помощью циркуля и линейки:

1. Измерить циркулем длину вектора $\vec{a}$ (расстояние $|AB|$).

2. Провести окружность (или дугу) с центром в точке C и радиусом, равным $|AB|$.

3. Измерить циркулем расстояние между точками A и C.

4. Провести окружность (или дугу) с центром в точке B и радиусом, равным $|AC|$.

5. Точка пересечения D этих двух окружностей (та, которая образует параллелограмм ACDB) и будет концом искомого вектора $\vec{CD}$.

Ответ: Необходимо построить точку D так, чтобы четырёхугольник ACDB являлся параллелограммом. Тогда вектор $\vec{CD}$ будет искомым вектором, равным $\vec{a}$ и отложенным от точки C.