Номер 1.10, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.10. Отметьте точки A, B и найдите точку X такую, чтобы выполнялось равенство $ \vec{AX} = \vec{XB} $.

Геометрическое рассмотрение

Чтобы найти точку $X$, удовлетворяющую векторному равенству $\vec{AX} = \vec{XB}$, необходимо проанализировать условия, которые накладывает это равенство.

Равенство двух векторов означает, что они удовлетворяют двум условиям:

1. Векторы сонаправлены. Вектор $\vec{AX}$ направлен от точки $A$ к точке $X$, а вектор $\vec{XB}$ — от точки $X$ к точке $B$. Чтобы они были сонаправлены, все три точки $A$, $X$ и $B$ должны лежать на одной прямой, причём точка $X$ должна располагаться между точками $A$ и $B$.

2. Длины (модули) векторов равны. Это условие записывается как $|\vec{AX}| = |\vec{XB}|$. Оно означает, что расстояние от $A$ до $X$ равно расстоянию от $X$ до $B$.

Объединив эти два условия, мы приходим к выводу, что точка $X$ — это точка, которая лежит на отрезке $AB$ и делит его пополам. По определению, такая точка является серединой отрезка $AB$.

Графически это можно представить следующим образом:

Алгебраическое доказательство

Этот вывод можно подтвердить и аналитически. Введем на плоскости декартову систему координат. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, точка $B$ — $(x_B, y_B)$, а искомая точка $X$ — $(x, y)$.

Координаты вектора вычисляются как разность координат его конца и начала. Таким образом, координаты вектора $\vec{AX}$ равны $(x - x_A, y - y_A)$, а координаты вектора $\vec{XB}$ равны $(x_B - x, y_B - y)$.

Из условия равенства векторов $\vec{AX} = \vec{XB}$ следует равенство их соответствующих координат:

$x - x_A = x_B - x$

$y - y_A = y_B - y$

Решим полученную систему уравнений относительно $x$ и $y$:

$2x = x_A + x_B \implies x = \frac{x_A + x_B}{2}$

$2y = y_A + y_B \implies y = \frac{y_A + y_B}{2}$

Полученные выражения $x = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y = \frac{y_A + y_B}{2}$ являются формулами для нахождения координат середины отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$. Это подтверждает, что точка $X$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Точка $X$ является серединой отрезка $AB$.