Страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AB = 3$ см, сторона $BC = 4$ см и точка $N$ является серединой $AB$. Найдите модули векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{DC}$, $\vec{NC}$, $\vec{NA}$, $\vec{CB}$, $\vec{AC}$.

По условию задачи дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. Точка $N$ является серединой стороны $AB$. Модуль вектора (его длина) равен длине отрезка, соединяющего его начало и конец. В прямоугольнике противоположные стороны равны ($AB = CD$, $BC = AD$) и все углы прямые.

$\vec{AB}$: Модуль вектора $\vec{AB}$ равен длине стороны $AB$. По условию задачи, $AB = 3$ см.
$|\vec{AB}| = 3$ см.
Ответ: $3$ см.

$\vec{BC}$: Модуль вектора $\vec{BC}$ равен длине стороны $BC$. По условию, $BC = 4$ см.
$|\vec{BC}| = 4$ см.
Ответ: $4$ см.

$\vec{DC}$: Модуль вектора $\vec{DC}$ равен длине стороны $DC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, поэтому $DC = AB = 3$ см.
$|\vec{DC}| = 3$ см.
Ответ: $3$ см.

$\vec{NC}$: Модуль вектора $\vec{NC}$ равен длине отрезка $NC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NBC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катет $BC = 4$ см. Точка $N$ — середина $AB$, поэтому катет $NB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $NC$:
$NC^2 = NB^2 + BC^2 = (1.5)^2 + 4^2 = 2.25 + 16 = 18.25$.
$|\vec{NC}| = NC = \sqrt{18.25} = \sqrt{\frac{73}{4}} = \frac{\sqrt{73}}{2}$ см.
Ответ: $\frac{\sqrt{73}}{2}$ см.

$\vec{NA}$: Модуль вектора $\vec{NA}$ равен длине отрезка $NA$. Так как $N$ — середина стороны $AB$, то $NA = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5$ см.
$|\vec{NA}| = 1.5$ см.
Ответ: $1.5$ см.

$\vec{CB}$: Модуль вектора $\vec{CB}$ равен длине отрезка $CB$. Длина $CB$ равна длине $BC$, то есть $4$ см.
$|\vec{CB}| = 4$ см.
Ответ: $4$ см.

$\vec{AC}$: Модуль вектора $\vec{AC}$ равен длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle B = 90^\circ$. Катеты $AB = 3$ см и $BC = 4$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
$|\vec{AC}| = AC = \sqrt{25} = 5$ см.
Ответ: $5$ см.

1.9. В трапеции $ABCD$ $ \angle A = 90^\circ $, $ \angle D = 45^\circ $, $ AD = 12 $ см, $ AB = 5 $ см. Найдите длину векторов $ \overrightarrow{BD} $, $ \overrightarrow{CD} $ и $ \overrightarrow{AC} $.

По условию задачи, дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Так как $ \angle A = 90^\circ $, трапеция является прямоугольной, и ее боковая сторона $AB$ одновременно является высотой. Длина вектора равна длине соответствующего отрезка, поэтому нам нужно найти длины отрезков $BD$, $CD$ и $AC$.

Для решения задачи опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$.

Четырехугольник $ABCH$ является прямоугольником, поскольку $AB \perp AD$, $CH \perp AD$ и $BC \parallel AD$. Из этого следует, что $CH = AB = 5$ см, а $AH = BC$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $ \angle CHD = 90^\circ $ и, по условию, $ \angle D = 45^\circ $. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, значит, $ \angle DCH = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. Так как два угла в треугольнике $CHD$ равны, он является равнобедренным, и, следовательно, $HD = CH = 5$ см.

Длина основания $AD$ состоит из длин отрезков $AH$ и $HD$. Мы можем найти $AH$:

$AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см.

Теперь, зная все необходимые размеры, мы можем вычислить длины искомых векторов.

$\vec{BD}$

Длина вектора $\vec{BD}$ равна длине диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (с прямым углом $A$). Применим теорему Пифагора:

$|\vec{BD}| = BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: $13$ см.

$\vec{CD}$

Длина вектора $\vec{CD}$ равна длине боковой стороны $CD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:

$|\vec{CD}| = CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.

$\vec{AC}$

Длина вектора $\vec{AC}$ равна длине диагонали $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (с прямым углом $H$). Мы нашли, что $AH = 7$ см и $CH = 5$ см. По теореме Пифагора:

$|\vec{AC}| = AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{7^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 25} = \sqrt{74}$ см.

Ответ: $\sqrt{74}$ см.

1.10. Отметьте точки A, B и найдите точку X такую, чтобы выполнялось равенство $ \vec{AX} = \vec{XB} $.

Геометрическое рассмотрение

Чтобы найти точку $X$, удовлетворяющую векторному равенству $\vec{AX} = \vec{XB}$, необходимо проанализировать условия, которые накладывает это равенство.

Равенство двух векторов означает, что они удовлетворяют двум условиям:

1. Векторы сонаправлены. Вектор $\vec{AX}$ направлен от точки $A$ к точке $X$, а вектор $\vec{XB}$ — от точки $X$ к точке $B$. Чтобы они были сонаправлены, все три точки $A$, $X$ и $B$ должны лежать на одной прямой, причём точка $X$ должна располагаться между точками $A$ и $B$.

2. Длины (модули) векторов равны. Это условие записывается как $|\vec{AX}| = |\vec{XB}|$. Оно означает, что расстояние от $A$ до $X$ равно расстоянию от $X$ до $B$.

Объединив эти два условия, мы приходим к выводу, что точка $X$ — это точка, которая лежит на отрезке $AB$ и делит его пополам. По определению, такая точка является серединой отрезка $AB$.

Графически это можно представить следующим образом:

Алгебраическое доказательство

Этот вывод можно подтвердить и аналитически. Введем на плоскости декартову систему координат. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, точка $B$ — $(x_B, y_B)$, а искомая точка $X$ — $(x, y)$.

Координаты вектора вычисляются как разность координат его конца и начала. Таким образом, координаты вектора $\vec{AX}$ равны $(x - x_A, y - y_A)$, а координаты вектора $\vec{XB}$ равны $(x_B - x, y_B - y)$.

Из условия равенства векторов $\vec{AX} = \vec{XB}$ следует равенство их соответствующих координат:

$x - x_A = x_B - x$

$y - y_A = y_B - y$

Решим полученную систему уравнений относительно $x$ и $y$:

$2x = x_A + x_B \implies x = \frac{x_A + x_B}{2}$

$2y = y_A + y_B \implies y = \frac{y_A + y_B}{2}$

Полученные выражения $x = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y = \frac{y_A + y_B}{2}$ являются формулами для нахождения координат середины отрезка, соединяющего точки $A$ и $B$. Это подтверждает, что точка $X$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: Точка $X$ является серединой отрезка $AB$.

1.11. Определите вид четырехугольника ABCD, если:

1) $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$, $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$.

1)

Рассмотрим условия для четырехугольника $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$.

Условие $\vec{AB} = \vec{DC}$ означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны. Равенство векторов подразумевает, что они параллельны, сонаправлены и равны по длине. Из этого следует, что противолежащие стороны $AB$ и $DC$ четырехугольника параллельны ($AB \parallel DC$) и равны по длине ($|AB| = |DC|$).

Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны и равны, по определению является параллелограммом. Таким образом, $ABCD$ — это параллелограмм.

Второе условие, $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$, означает, что длины смежных сторон $AB$ и $BC$ равны.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Так как мы установили, что $ABCD$ — параллелограмм, и его смежные стороны равны, то $ABCD$ — это ромб.

Ответ: ромб.

2)

Рассмотрим условия для четырехугольника $ABCD$: $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$ и $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$.

Первое условие, $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$, означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены. Сонаправленные векторы всегда параллельны, следовательно, прямые $AB$ и $DC$ параллельны ($AB \parallel DC$). Это означает, что $ABCD$ является трапецией или параллелограммом.

Второе условие, $\vec{AD} \parallel \vec{AB}$, означает, что векторы $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны (их направления лежат на параллельных прямых или на одной прямой). Поскольку эти векторы имеют общую начальную точку $A$, они должны лежать на одной прямой. Следовательно, точки $D$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой.

Теперь объединим оба вывода. У нас есть прямая, на которой лежат точки $D, A, B$. Обозначим эту прямую $L_1$. Также у нас есть прямая, содержащая отрезок $DC$, которую мы обозначим $L_2$. Из первого условия мы знаем, что $L_1 \parallel L_2$.

Однако, точка $D$ принадлежит обеим прямым: она лежит на $L_1$ (потому что $D, A, B$ на одной прямой) и на $L_2$ (потому что на ней лежит отрезок $DC$). Если две параллельные прямые имеют общую точку, то они совпадают. Значит, $L_1$ и $L_2$ — это одна и та же прямая.

Это означает, что все четыре вершины четырехугольника, $A, B, C$ и $D$, лежат на одной прямой. Такой четырехугольник называется вырожденным.

Ответ: вырожденный четырехугольник.

1.12. Как можно отложить вектор $\vec{a}$ от точки C? (Рассмотрите отдельно случаи, когда вектор $\vec{a}$ и точка C :

а) расположены на одной прямой;

б) не расположены на одной прямой.)

Чтобы отложить (построить) вектор $\vec{a}$ от точки C, необходимо найти такую точку D, чтобы вектор $\vec{CD}$ был равен данному вектору $\vec{a}$. Равенство векторов означает, что они должны быть сонаправлены (иметь одинаковое направление) и их длины (модули) должны быть равны, то есть $|\vec{CD}| = |\vec{a}|$. Способ построения зависит от взаимного расположения исходного вектора и точки.

а) вектор $\vec{a}$ и точка С расположены на одной прямой

Пусть вектор $\vec{a}$ задан направленным отрезком $\vec{AB}$, и все три точки (начало вектора A, конец вектора B и точка C) лежат на одной прямой $l$.

Построение выполняется следующим образом:

1. На прямой $l$ от точки C откладывается отрезок CD, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$. Это можно сделать с помощью циркуля, измерив расстояние между точками A и B и отложив его от точки C.

2. Направление отрезка CD должно совпадать с направлением вектора $\vec{a}$. Если вектор $\vec{a}$ направлен от A к B, то искомый вектор $\vec{CD}$ должен быть направлен от C к D в ту же сторону вдоль прямой $l$.

В результате будет построен вектор $\vec{CD}$, который равен вектору $\vec{a}$.

Ответ: Необходимо на прямой, где лежат вектор $\vec{a}$ и точка C, отложить от точки C отрезок CD, равный по длине вектору $\vec{a}$ и сонаправленный с вектором $\vec{a}$.

б) вектор $\vec{a}$ и точка С не расположены на одной прямой

Пусть вектор $\vec{a}$ представлен направленным отрезком $\vec{AB}$, а точка C не лежит на прямой, проходящей через точки A и B.

В этом случае для построения искомого вектора $\vec{CD}$ используется правило параллелограмма. Построение можно выполнить так:

1. Через точку C провести прямую, параллельную прямой AB (на которой лежит вектор $\vec{a}$).

2. На этой параллельной прямой от точки C отложить отрезок CD, длина которого равна длине вектора $\vec{a}$ ($|CD| = |AB|$).

3. Направление отрезка CD должно совпадать с направлением вектора $\vec{a}$.

В результате будет найдена точка D, такая, что четырёхугольник ACDB является параллелограммом (так как $\vec{AC}$ будет равен и параллелен $\vec{BD}$). Искомый вектор $\vec{CD}$ будет равен вектору $\vec{AB}$ (то есть $\vec{a}$).

Практическое построение с помощью циркуля и линейки:

1. Измерить циркулем длину вектора $\vec{a}$ (расстояние $|AB|$).

2. Провести окружность (или дугу) с центром в точке C и радиусом, равным $|AB|$.

3. Измерить циркулем расстояние между точками A и C.

4. Провести окружность (или дугу) с центром в точке B и радиусом, равным $|AC|$.

5. Точка пересечения D этих двух окружностей (та, которая образует параллелограмм ACDB) и будет концом искомого вектора $\vec{CD}$.

Ответ: Необходимо построить точку D так, чтобы четырёхугольник ACDB являлся параллелограммом. Тогда вектор $\vec{CD}$ будет искомым вектором, равным $\vec{a}$ и отложенным от точки C.

1.13. Для точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$. Покажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть точкам $A, B, C, D$ соответствуют радиус-векторы $\vec{r_A}, \vec{r_B}, \vec{r_C}, \vec{r_D}$ относительно произвольного начала координат.

Вектор $\vec{AB}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{AB} = \vec{r_B} - \vec{r_A}$.

Аналогично, вектор $\vec{DC}$ выражается как $\vec{DC} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$.

По условию задачи дано равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$. Подставим в него выражения через радиус-векторы:

$\vec{r_B} - \vec{r_A} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$

Перегруппируем слагаемые в этом равенстве так, чтобы радиус-векторы, относящиеся к концам одного диагонального отрезка, оказались в одной части уравнения:

$\vec{r_A} + \vec{r_C} = \vec{r_B} + \vec{r_D}$

Разделим обе части полученного равенства на 2:

$\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$

Выражение $\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2}$ является радиус-вектором середины отрезка $AC$. Обозначим эту точку как $M$.

Выражение $\frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$ является радиус-вектором середины отрезка $BD$. Обозначим эту точку как $N$.

Таким образом, мы получили, что радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны ($\vec{r_M} = \vec{r_N}$), что означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Следовательно, середина отрезка $AC$ и середина отрезка $BD$ — это одна и та же точка.

Это доказывает, что отрезки $AC$ и $BD$ имеют общую середину. Значит, они пересекаются, и точка их пересечения делит каждый из них пополам.

Условие, что точки $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, обеспечивает, что четырехугольник $ABDC$ является невырожденным. Равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ является признаком того, что этот четырехугольник — параллелограмм, а отрезки $AC$ и $BD$ — его диагонали.

Ответ: Из векторного равенства $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $\vec{r_B} - \vec{r_A} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$, что эквивалентно $\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$. Это равенство доказывает, что середины отрезков $AC$ и $BD$ совпадают. Следовательно, отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

1.14. Пусть диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Что можно сказать о четырехугольнике $ABCD$, если $\vec{AB} = \vec{DC}$ и:

1) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$;

2) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ и $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$?

Сначала проанализируем общее условие для обоих пунктов: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что они коллинеарны (сонаправлены) и их длины равны.

1. Коллинеарность векторов означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны, т.е. $AB \parallel DC$.

2. Равенство длин векторов означает, что $|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$, или $AB = DC$.

Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. В параллелограмме диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$

Из основного условия мы знаем, что $ABCD$ — параллелограмм. Условие $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ означает, что векторы $\vec{AO}$ и $\vec{BO}$ перпендикулярны. Вектор $\vec{AO}$ является частью диагонали $AC$, а вектор $\vec{BO}$ — частью диагонали $BD$. Таким образом, перпендикулярность этих векторов означает, что диагонали $AC$ и $BD$ также перпендикулярны ($AC \perp BD$).

Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, по определению является ромбом.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

2) $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ и $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$

Как и в первом пункте, условие $\vec{AO} \perp \vec{BO}$ для параллелограмма $ABCD$ означает, что он является ромбом.

Рассмотрим второе условие: $|\vec{AO}| = |\vec{BO}|$. Это означает, что длины отрезков $AO$ и $BO$ равны. Так как диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, то полная длина диагонали $AC$ равна $2 \cdot AO$, а полная длина диагонали $BD$ равна $2 \cdot BO$.

Из равенства $AO = BO$ следует, что $2 \cdot AO = 2 \cdot BO$, то есть $AC = BD$. Диагонали четырехугольника равны.

Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является одновременно и ромбом (так как его диагонали перпендикулярны), и прямоугольником (так как его диагонали равны). Фигура, обладающая свойствами и ромба, и прямоугольника, — это квадрат.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является квадратом.

1.15. Докажите обратное утверждение к задаче 1.13. Если отрезки AC и BD делятся пополам в точке их пересечения, то выполняется равенство $ \vec{AB} = \vec{DC} $.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Пусть задана произвольная точка O — начало отсчета (начало системы координат). Тогда положение точек A, B, C и D можно описать их радиус-векторами $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$. Для краткости будем обозначать их как $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$ соответственно.

Четырехугольник, в котором отрезки AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, является параллелограммом. Иллюстрация представлена ниже.

Пусть M — точка пересечения отрезков AC и BD. По условию, M является серединой отрезка AC. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. Таким образом, радиус-вектор точки M, $\vec{m}$, можно выразить как: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$.

Аналогично, по условию, M является серединой отрезка BD. Следовательно, ее радиус-вектор также можно выразить через радиус-векторы точек B и D: $\vec{m} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

Так как оба выражения определяют радиус-вектор одной и той же точки M, мы можем их приравнять: $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

Умножим обе части этого равенства на 2: $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Нам нужно доказать равенство векторов $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор, проведенный из одной точки в другую, равен разности радиус-векторов его конца и начала. То есть, $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{c} - \vec{d}$.

Перегруппируем члены в равенстве $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$, чтобы получить эти разности. Перенесем вектор $\vec{a}$ в правую часть, а вектор $\vec{d}$ — в левую часть равенства: $\vec{c} - \vec{d} = \vec{b} - \vec{a}$.

Это и доказывает, что $\vec{DC} = \vec{AB}$, так как левая часть равна $\vec{DC}$, а правая — $\vec{AB}$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение о том, что если отрезки AC и BD делятся пополам в точке их пересечения, то выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$, доказано.

1.16. Из одного города одновременно в северном и западном направлениях вылетели два самолета со скоростью 600 км/ч и 800 км/ч. Какое расстояние будет между самолетами через 1 ч?

Для решения этой задачи сначала определим, какое расстояние пролетел каждый самолет за 1 час. Расстояние вычисляется по формуле: расстояние = скорость × время ($d = v \cdot t$).

1. Расстояние, которое пролетел первый самолет (на север):
$d_1 = 600 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 600 \text{ км}$

2. Расстояние, которое пролетел второй самолет (на запад):
$d_2 = 800 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 800 \text{ км}$

Поскольку самолеты летели в перпендикулярных направлениях (север и запад), их траектории образуют прямой угол. Положения самолетов через час и точка вылета (город) формируют прямоугольный треугольник. Расстояния, пройденные самолетами, являются катетами этого треугольника, а искомое расстояние между ними — гипотенузой.

Для нахождения гипотенузы $d$ воспользуемся теоремой Пифагора: $d^2 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Подставим значения в формулу:

$d^2 = 600^2 + 800^2$

$d^2 = 360000 + 640000$

$d^2 = 1000000$

$d = \sqrt{1000000}$

$d = 1000 \text{ км}$

Ответ: через 1 час расстояние между самолетами будет 1000 км.

1.17. Из одного города одновременно в северном и западном направлениях вылетели два самолета со скоростью 600 км/ч и 800 км/ч. Через 2 ч они изменили направление и полетели

а)

Пусть начальная точка вылета самолетов (город) — это начало координат O. Первый самолет летит на север со скоростью $v_1 = 600$ км/ч, а второй — на запад со скоростью $v_2 = 800$ км/ч. Найдем их положение через $t = 2$ ч.

Расстояние, которое пролетел первый самолет (на север) до точки А:

$d_1 = v_1 \cdot t = 600 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 1200 \text{ км}$.

Расстояние, которое пролетел второй самолет (на запад) до точки B:

$d_2 = v_2 \cdot t = 800 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 1600 \text{ км}$.

Так как направления на север и на запад взаимно перпендикулярны, то траектории движения самолетов образуют прямой угол. Положения самолетов (точки A и B) и город (точка O) образуют прямоугольный треугольник OAB. Расстояние между самолетами D (длина отрезка AB) является гипотенузой этого треугольника.

Применяя теорему Пифагора, находим гипотенузу D:

$D = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{(1200)^2 + (1600)^2}$

$D = \sqrt{1440000 + 2560000} = \sqrt{4000000} = 2000 \text{ км}$.

Ответ: 2000 км.

б)

Через 2 часа самолеты, находясь на расстоянии $D = 2000$ км друг от друга, изменяют курс и летят навстречу друг другу. Скорость первого самолета $v_1 = 600$ км/ч, а второго — $v_2 = 800$ км/ч.

Для нахождения времени их встречи, вычислим скорость сближения $v_{сбл}$. Так как они движутся навстречу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 600 \text{ км/ч} + 800 \text{ км/ч} = 1400 \text{ км/ч}$.

Время $t_{встр}$, необходимое для встречи, равно расстоянию, деленному на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{D}{v_{сбл}} = \frac{2000 \text{ км}}{1400 \text{ км/ч}} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} \text{ ч}$.

Это время можно представить в виде смешанной дроби: $1\frac{3}{7}$ часа. Чтобы перевести дробную часть в минуты, умножим ее на 60: $\frac{3}{7} \cdot 60 = \frac{180}{7} \approx 25.7$ минут. Таким образом, время до встречи составляет 1 час и примерно 26 минут.

Ответ: $\frac{10}{7}$ ч (или $1\frac{3}{7}$ ч).