Страница 17 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ДОКАЖИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО

В случае, когда векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ расположены на одной прямой, теорема доказывается несложно (рис. 1.6, б).

В задаче требуется доказать теорему о равенстве векторов в координатах для частного случая, когда векторы лежат на одной прямой. Формулировка теоремы следующая: два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Пусть даны векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, которые лежат на одной прямой $l$, как показано на рисунке.

Доказательство состоит из двух частей: прямой и обратной теоремы.

Пусть векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то есть $\vec{AB} = \vec{CD}$. По определению, это означает, что векторы сонаправлены ($\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{CD}$) и их длины (модули) равны ($|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$).

Координатами вектора в заданной системе координат являются его проекции на оси координат. Пусть координаты точек равны $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ и $D(x_D, y_D)$. Тогда координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ определяются разностью координат их конца и начала:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$

$\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, они представляют собой один и тот же вектор (свободный вектор). Следовательно, их проекции на любую ось, включая оси координат Ox и Oy, должны быть равны.

Проекция вектора $\vec{AB}$ на ось Ox равна $x_B - x_A$. Проекция вектора $\vec{CD}$ на ось Ox равна $x_D - x_C$. Из равенства векторов следует равенство их проекций:

$x_B - x_A = x_D - x_C$

Аналогично, проекция вектора $\vec{AB}$ на ось Oy равна $y_B - y_A$, а проекция вектора $\vec{CD}$ на ось Oy равна $y_D - y_C$. Следовательно:

$y_B - y_A = y_D - y_C$

Таким образом, доказано, что если векторы равны, то их соответствующие координаты равны. Это доказательство справедливо для любого расположения векторов, в том числе и для случая их расположения на одной прямой.

Ответ: Доказано, что из равенства векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$ следует равенство их соответствующих координат: $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$.

Пусть дано, что координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то есть:

$x_B - x_A = x_D - x_C$

$y_B - y_A = y_D - y_C$

Кроме того, по условию задачи, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ лежат на одной прямой $l$. Требуется доказать, что $\vec{AB} = \vec{CD}$, то есть что они сонаправлены и их длины равны.

Сначала найдем длины векторов. Длина вектора вычисляется через его координаты по формуле:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$

$|\vec{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$

Так как по условию $x_B - x_A = x_D - x_C$ и $y_B - y_A = y_D - y_C$, то подкоренные выражения равны. Следовательно, равны и длины векторов:

$|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$

Теперь докажем, что векторы сонаправлены. По условию они лежат на одной прямой, значит, они либо сонаправлены, либо противоположно направлены.

Пусть $\vec{u} = (u_x, u_y)$ — это единичный направляющий вектор для прямой $l$. Тогда любой вектор, лежащий на этой прямой, можно представить в виде $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k$ — это действительное число, равное проекции вектора $\vec{v}$ на направление $\vec{u}$. Знак $k$ определяет направление вектора вдоль прямой.

Таким образом, $\vec{AB} = k_1 \vec{u}$ и $\vec{CD} = k_2 \vec{u}$. В координатной форме это означает:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (k_1 u_x, k_1 u_y)$

$\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (k_2 u_x, k_2 u_y)$

Из условия равенства координат векторов получаем систему уравнений:

$\begin{cases} k_1 u_x = k_2 u_x \\ k_1 u_y = k_2 u_y \end{cases} \implies \begin{cases} (k_1 - k_2) u_x = 0 \\ (k_1 - k_2) u_y = 0 \end{cases}$

Поскольку $\vec{u}$ — единичный вектор, он не является нулевым, а значит, хотя бы одна из его координат ($u_x$ или $u_y$) отлична от нуля. Если $u_x \neq 0$, то из первого уравнения следует, что $k_1 - k_2 = 0$, то есть $k_1 = k_2$. Если же $u_y \neq 0$, то тот же вывод следует из второго уравнения. Таким образом, $k_1 = k_2$.

Равенство коэффициентов $k_1 = k_2$ означает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не только имеют одинаковую длину, но и одинаковое направление (поскольку знаки $k_1$ и $k_2$ совпадают). Следовательно, $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Ответ: Доказано, что из равенства координат векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, лежащих на одной прямой, следует равенство самих векторов $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Таким образом, теорема полностью доказана для случая, когда векторы расположены на одной прямой.

1. Какова разница между векторными и скалярными величинами?

2. Что такое вектор и как его обозначают?

3. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

4. Какие векторы называются равными?

5. Какая связь между равенством векторов и параллельным переносом?

6. Что такое модуль (длина) вектора?

7. Что вы знаете о нулевом векторе?

1. Какова разница между векторными и скалярными величинами?

Основное различие между скалярными и векторными величинами заключается в том, что скалярные величины полностью определяются своим числовым значением (величиной или модулем), в то время как векторные величины требуют для своего определения как числового значения, так и направления в пространстве.

• Скалярные величины характеризуются только величиной. Примерами могут служить масса, температура, объем, плотность, время, длина, площадь. Эти величины можно складывать и вычитать как обычные числа.
• Векторные величины характеризуются величиной (модулем) и направлением. Примеры: скорость, ускорение, сила, перемещение. Операции с векторами (сложение, вычитание) производятся по особым правилам, учитывающим их направления.

Таким образом, ключевое отличие — это наличие у вектора направления, которого нет у скаляра.

Ответ: Скалярные величины имеют только числовое значение (модуль), а векторные — и модуль, и направление.

2. Что такое вектор и как его обозначают?

Вектор — это направленный отрезок, то есть отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом (точкой приложения), а какая — концом. Направление вектора на чертеже изображается стрелкой.

Обозначают векторы одним из двух способов:

• Двумя заглавными латинскими буквами, обозначающими его начало и конец, со стрелкой над ними. Например, вектор с началом в точке $A$ и концом в точке $B$ обозначается как $\vec{AB}$.
• Одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней. Например, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$.

Ответ: Вектор — это направленный отрезок. Его обозначают двумя заглавными буквами (начало и конец) или одной строчной буквой, со стрелкой наверху (например, $\vec{AB}$ или $\vec{a}$).

3. Какие векторы называются коллинеарными? Приведите примеры сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы бывают двух видов:

• Сонаправленные — это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковое направление. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.
• Противоположно направленные — это коллинеарные векторы, которые имеют противоположные направления. Обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Пример:

Ответ: Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными (направлены в одну сторону) или противоположно направленными (направлены в разные стороны).

4. Какие векторы называются равными?

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Они сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).
2. Их длины (модули) равны ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$).

Равенство векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} = \vec{b}$. Из определения следует, что равные векторы всегда коллинеарны. Равные векторы можно получить друг из друга параллельным переносом.

Ответ: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

5. Какая связь между равенством векторов и параллельным переносом?

Связь прямая: вектор можно рассматривать как сам параллельный перенос.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости (или пространства), при котором каждая точка $(x, y)$ смещается в точку $(x+a, y+b)$. Этот перенос задается вектором $\vec{v}=(a, b)$.

Если параллельный перенос переводит точку $A$ в точку $B$, а точку $C$ в точку $D$, то векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны. И наоборот, если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то существует параллельный перенос, который переводит точку $A$ в $C$ и точку $B$ в $D$.

Таким образом, равенство векторов означает, что они задают один и тот же параллельный перенос.

Ответ: Два вектора равны тогда и только тогда, когда один может быть получен из другого параллельным переносом. Равные векторы задают один и тот же параллельный перенос.

6. Что такое модуль (длина) вектора?

Модуль (или длина) вектора — это длина отрезка, который представляет этот вектор. Модуль является скалярной неотрицательной величиной.

Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$, а модуль вектора $\vec{AB}$ — как $|\vec{AB}|$.

Если вектор задан своими координатами в прямоугольной системе координат, например, на плоскости $\vec{a} = (x; y)$, то его модуль вычисляется по теореме Пифагора:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Для вектора в пространстве $\vec{a} = (x; y; z)$ формула аналогична:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Ответ: Модуль вектора — это длина отрезка, изображающего вектор. Это неотрицательное число.

7. Что вы знаете о нулевом векторе?

Нулевой вектор (или нуль-вектор) — это особый вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают. Например, вектор $\vec{AA}$ является нулевым.

Основные свойства нулевого вектора:

• Обозначение: $\vec{0}$.
• Длина (модуль): Длина нулевого вектора равна нулю: $|\vec{0}| = 0$. Это единственный вектор с нулевой длиной.
• Направление: Направление нулевого вектора не определено.
• Коллинеарность: По соглашению, нулевой вектор считается коллинеарным (а также перпендикулярным) любому другому вектору.

При сложении любого вектора $\vec{a}$ с нулевым вектором получается тот же вектор $\vec{a}$: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$.

Ответ: Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают. Его длина равна нулю, а направление не определено. Обозначается $\vec{0}$.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Постройте два вектора:

а) равные по длине, но не коллинеарные;

б) равные по длине и сонаправленные;

в) равные по длине и противоположно направленные.

В каком из этих трех случаев построенные векторы равны между собой? Обоснуйте ответ.

2. Постройте векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ ($ \vec{a} \neq \vec{b} $). Отметьте точку $ O $ и по-стройте параллелограмм $ OABC $ так, чтобы выполнялись равенства $ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OC} = \vec{b} $.

3. Постройте произвольно вектор $ \vec{a} $ такой, что $ |\vec{a}| = 3 $ см. Отметьте точку $ A $ и постройте квадрат $ ABCD $ так, чтобы выполнялось равенство $ \vec{a} = \vec{AB} $. Сколько таких квадратов можно построить?

1. а) равные по длине, но не коллинеарные;

Два вектора равны по длине, если их модули (длины) одинаковы. Векторы не коллинеарны, если они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Для построения нужно нарисовать два направленных отрезка одинаковой длины, но с разным наклоном (непараллельные).

На рисунке векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{a}| = |\vec{b}|$), но не коллинеарны, так как они не параллельны.

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

б) равные по длине и сонаправленные;

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону. Для построения нужно нарисовать два параллельных направленных отрезка одинаковой длины, указывающих в одну сторону.

На рисунке векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{c}| = |\vec{d}|$) и сонаправлены ($\vec{c} \uparrow\uparrow \vec{d}$).

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

в) равные по длине и противоположно направленные.

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны. Для построения нужно нарисовать два параллельных направленных отрезка одинаковой длины, указывающих в разные стороны.

На рисунке векторы $\vec{e}$ и $\vec{f}$ имеют одинаковую длину ($|\vec{e}| = |\vec{f}|$), но противоположно направлены ($\vec{e} \uparrow\downarrow \vec{f}$).

Ответ: Построены два вектора, удовлетворяющие условию.

В каком из этих трех случаев построенные векторы равны между собой? Обоснуйте ответ.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины (модули) равны.
а) Векторы не равны, так как они не коллинеарны, а значит и не сонаправлены.
б) Векторы равны, так как они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Это полностью соответствует определению равных векторов.
в) Векторы не равны, так как они противоположно направлены, а не сонаправлены. Такие векторы называются противоположными, но не равными.

Ответ: Векторы равны в случае б), так как по определению равные векторы должны быть сонаправлены и иметь равные длины.

2. Для построения параллелограмма $OABC$ по заданным неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$ ($\vec{a} \nparallel \vec{b}$) таким, что $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OC} = \vec{b}$, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать произвольную точку $O$ на плоскости.
2. От точки $O$ отложить вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$.
3. От точки $O$ отложить вектор $\vec{OC}$, равный вектору $\vec{b}$.
4. Через точку $A$ провести прямую, параллельную $OC$.
5. Через точку $C$ провести прямую, параллельную $OA$.
6. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $B$ искомого параллелограмма $OABC$.

В построенном параллелограмме $OABC$ по построению $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OC} = \vec{b}$.

Ответ: Параллелограмм $OABC$ построен в соответствии с условиями задачи.

3. Для построения квадрата $ABCD$ по заданному вектору $\vec{a}$ с условием, что $|\vec{a}| = 3$ см и $\vec{a} = \vec{AB}$, необходимо выполнить следующие шаги:
1. Выбрать на плоскости произвольную точку $A$.
2. Построить вектор $\vec{AB}$, равный вектору $\vec{a}$. Длина отрезка $AB$ будет равна 3 см.
3. Из точки $A$ провести луч, перпендикулярный отрезку $AB$.
4. На этом луче отложить отрезок $AD$ длиной 3 см.
5. Из точки $B$ провести луч в ту же полуплоскость относительно прямой $AB$, перпендикулярный $AB$.
6. На этом луче отложить отрезок $BC$ длиной 3 см.
7. Соединить точки $C$ и $D$. Фигура $ABCD$ будет искомым квадратом.
Поскольку перпендикуляр из точки $A$ к прямой $AB$ можно провести в две разные стороны (в две полуплоскости), то существует два возможных положения для стороны $AD$, и, следовательно, два возможных квадрата.

На рисунке показаны два возможных квадрата: $ABCD$ и $ABC'D'$, построенные на векторе $\vec{AB} = \vec{a}$.

Ответ: Можно построить два таких квадрата.