Номер 1.13, страница 19 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.13. Для точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, выполняется равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$. Покажите, что отрезки AC и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства утверждения воспользуемся векторным методом. Пусть точкам $A, B, C, D$ соответствуют радиус-векторы $\vec{r_A}, \vec{r_B}, \vec{r_C}, \vec{r_D}$ относительно произвольного начала координат.

Вектор $\vec{AB}$ можно выразить через радиус-векторы его начала и конца: $\vec{AB} = \vec{r_B} - \vec{r_A}$.

Аналогично, вектор $\vec{DC}$ выражается как $\vec{DC} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$.

По условию задачи дано равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$. Подставим в него выражения через радиус-векторы:

$\vec{r_B} - \vec{r_A} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$

Перегруппируем слагаемые в этом равенстве так, чтобы радиус-векторы, относящиеся к концам одного диагонального отрезка, оказались в одной части уравнения:

$\vec{r_A} + \vec{r_C} = \vec{r_B} + \vec{r_D}$

Разделим обе части полученного равенства на 2:

$\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$

Выражение $\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2}$ является радиус-вектором середины отрезка $AC$. Обозначим эту точку как $M$.

Выражение $\frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$ является радиус-вектором середины отрезка $BD$. Обозначим эту точку как $N$.

Таким образом, мы получили, что радиус-векторы точек $M$ и $N$ равны ($\vec{r_M} = \vec{r_N}$), что означает, что точки $M$ и $N$ совпадают. Следовательно, середина отрезка $AC$ и середина отрезка $BD$ — это одна и та же точка.

Это доказывает, что отрезки $AC$ и $BD$ имеют общую середину. Значит, они пересекаются, и точка их пересечения делит каждый из них пополам.

Условие, что точки $A, B, C, D$ не лежат на одной прямой, обеспечивает, что четырехугольник $ABDC$ является невырожденным. Равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$ является признаком того, что этот четырехугольник — параллелограмм, а отрезки $AC$ и $BD$ — его диагонали.

Ответ: Из векторного равенства $\vec{AB} = \vec{DC}$ следует, что $\vec{r_B} - \vec{r_A} = \vec{r_C} - \vec{r_D}$, что эквивалентно $\frac{\vec{r_A} + \vec{r_C}}{2} = \frac{\vec{r_B} + \vec{r_D}}{2}$. Это равенство доказывает, что середины отрезков $AC$ и $BD$ совпадают. Следовательно, отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.