Номер 1.7, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.7. В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основание опущена высота $AD$. Укажите пары векторов:

1) модули которых равны;

2) которые равны между собой;

3) которые взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором, согласно условию, боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, а основанием — $BC$. Высота $AD$ опущена на основание $BC$.Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника:

1. Боковые стороны равны по длине: $AB = AC$.
2. Высота, опущенная на основание, является также медианой и биссектрисой. Как медиана, она делит основание на два равных отрезка: $BD = DC$.
3. По определению, высота $AD$ перпендикулярна основанию $BC$: $AD \perp BC$.

На основе этих свойств найдем искомые пары векторов.

1) модули которых равны;

Модуль вектора (или его длина) — это длина отрезка, который он представляет. Мы ищем пары векторов, длины которых одинаковы.
- Так как в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны ($AB = AC$), то и модули соответствующих векторов будут равны: $|\vec{AB}| = |\vec{AC}|$. Также равны модули их противоположных векторов $|\vec{BA}| = |\vec{CA}|$.
- Так как высота $AD$ является и медианой, она делит основание $BC$ пополам ($BD = DC$). Следовательно, модули векторов, лежащих на этих отрезках, равны. Например, $|\vec{BD}| = |\vec{DC}|$. Также можно составить пары из противоположных векторов, например, $|\vec{BD}| = |\vec{CD}|$ или $|\vec{DB}| = |\vec{DC}|$.
Ответ: Парами векторов с равными модулями являются, например, ($\vec{AB}$, $\vec{AC}$) и ($\vec{BD}$, $\vec{CD}$).

2) которые равны между собой;

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое направление (сонаправлены) и их модули равны.
- Рассмотрим векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$. Точка $D$ — середина отрезка $BC$. Вектор $\vec{BD}$ начинается в точке $B$ и заканчивается в точке $D$. Вектор $\vec{DC}$ начинается в точке $D$ и заканчивается в точке $C$. Оба вектора лежат на одной прямой $BC$, направлены в одну сторону (от $B$ к $C$) и их длины равны ($BD = DC$). Следовательно, эти векторы равны.
- Других пар равных векторов, образованных точками $A, B, C, D$, нет, так как отсутствуют другие параллельные и равные по длине направленные отрезки.
Ответ: $\vec{BD} = \vec{DC}$.

3) которые взаимно перпендикулярны.

Взаимно перпендикулярные векторы лежат на перпендикулярных прямых.
- Из условия задачи известно, что $AD$ — высота, опущенная на основание $BC$. По определению высоты, прямая $AD$ перпендикулярна прямой $BC$.
- Это означает, что любой вектор, лежащий на прямой $AD$ (т.е. $\vec{AD}$ или $\vec{DA}$), будет перпендикулярен любому вектору, лежащему на прямой $BC$ (т.е. $\vec{BC}$, $\vec{CB}$, $\vec{BD}$, $\vec{DB}$, $\vec{DC}$ или $\vec{CD}$).
Ответ: Парами взаимно перпендикулярных векторов являются, например, ($\vec{AD}$, $\vec{BC}$), ($\vec{AD}$, $\vec{BD}$) или ($\vec{DA}$, $\vec{DC}$).