Номер 1.5, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AD$. Докажите равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является медианой. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $BC$. Необходимо доказать векторное равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$.

Два вектора называются равными, если они удовлетворяют двум условиям: они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны.

Проверим выполнение этих двух условий для векторов $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$.

1. Направление векторов.
Поскольку $AD$ — медиана, точка $D$ лежит на стороне $BC$ и является её серединой. Это означает, что точки $B$, $D$ и $C$ лежат на одной прямой, причём точка $D$ находится между точками $B$ и $C$. Вектор $\vec{BD}$ имеет направление от точки $B$ к точке $D$. Вектор $\vec{DC}$ имеет направление от точки $D$ к точке $C$. Так как обе точки $D$ и $C$ лежат на прямой "вперед" от точки $B$, оба вектора направлены в одну и ту же сторону вдоль прямой $BC$. Следовательно, векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены.

2. Длины (модули) векторов.
Длина (модуль) вектора $\vec{BD}$ равна длине отрезка $BD$, что записывается как $|\vec{BD}| = BD$. Аналогично, длина вектора $\vec{DC}$ равна длине отрезка $DC$, то есть $|\vec{DC}| = DC$.По определению медианы, точка $D$ является серединой отрезка $BC$. Середина отрезка делит его на два равных по длине отрезка, поэтому $BD = DC$.Из этого следует, что модули векторов равны: $|\vec{BD}| = |\vec{DC}|$.

Поскольку векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их модули равны, по определению равных векторов мы заключаем, что $\vec{BD} = \vec{DC}$.

Ответ: Равенство $\vec{BD} = \vec{DC}$ доказано.