Страница 108 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C (2; -1)$ и $D (-4; 0)$ относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $DEF$. Постройте образ треугольника $DEF$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{DE}$; 2) при симметрии относительно точки $F$; 3) при симметрии относительно прямой $DF$.

3. Точка $P_1 (x; 5)$ является образом точки $B (-7; y)$ при гомотетии с центром $H (3; -1)$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь треугольника $AMD$, если $BC : AD = 3 : 4$, а площадь трапеции равна $14$ см$^2$.

5. Из точек $D$ и $E$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $DD_1$ и $EE_1$ на эту прямую. $DD_1 = 4$ см, $EE_1 = 8$ см, $D_1E_1 = 5$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $DX + XE$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C (2; -1)$ и $D (-4; 0)$ относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $DEF$. Постройте образ треугольника $DEF$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{DE}$; 2) при симметрии относительно точки $F$; 3) при симметрии относительно прямой $DF$.

3. Точка $P_1 (x; 5)$ является образом точки $B (-7; y)$ при гомотетии с центром $H (3; -1)$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь треугольника $AMD$, если $BC : AD = 3 : 4$, а площадь трапеции равна 14 см2.

5. Из точек $D$ и $E$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $DD_1$ и $EE_1$ на эту прямую. $DD_1 = 4$ см, $EE_1 = 8$ см, $D_1E_1 = 5$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $DX + XE$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

1.

Для нахождения координат симметричных точек используем следующие правила:

• При симметрии относительно оси ординат (оси OY) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$.
• При симметрии относительно оси абсцисс (оси OX) точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(x; -y)$.
• При симметрии относительно начала координат точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; -y)$.

1) Симметрия относительно оси ординат:

Для точки C (2; –1) симметричная точка C' будет иметь координаты (–2; –1).
Для точки D (–4; 0) симметричная точка D' будет иметь координаты (4; 0).
Ответ: C'(–2; –1), D'(4; 0).

2) Симметрия относительно оси абсцисс:

Для точки C (2; –1) симметричная точка C'' будет иметь координаты (2; 1).
Для точки D (–4; 0) симметричная точка D'' будет иметь координаты (–4; 0), так как она лежит на оси симметрии.
Ответ: C''(2; 1), D''(–4; 0).

3) Симметрия относительно начала координат:

Для точки C (2; –1) симметричная точка C''' будет иметь координаты (–2; 1).
Для точки D (–4; 0) симметричная точка D''' будет иметь координаты (4; 0).
Ответ: C'''(–2; 1), D'''(4; 0).

2.

Для построения образов треугольника DEF выполним следующие действия (точное построение зависит от исходного расположения вершин D, E, F):

1) При параллельном переносе на вектор $\vec{DE}$ каждая точка треугольника смещается на этот вектор. Вершина D перейдет в вершину E. Для нахождения образа вершины E, точки E', нужно отложить от точки E вектор, равный вектору $\vec{DE}$. Для нахождения образа вершины F, точки F', нужно отложить от точки F вектор, равный вектору $\vec{DE}$. Соединив точки E, E' и F', получим искомый треугольник EE'F'.

2) При симметрии относительно точки F (центральная симметрия), каждая вершина треугольника отображается в точку, для которой F является серединой отрезка, соединяющего вершину и ее образ. Вершина F отобразится сама в себя. Для построения образа вершины D, точки D', нужно провести луч DF и отложить на нем за точкой F отрезок FD', равный отрезку DF. Аналогично, для построения образа вершины E, точки E', нужно провести луч EF и отложить на нем за точкой F отрезок FE', равный отрезку EF. Соединив точки D', E' и F, получим искомый треугольник D'E'F.

3) При симметрии относительно прямой DF (осевая симметрия), точки, лежащие на оси симметрии (D и F), остаются на месте. Для построения образа вершины E, точки E', нужно провести через точку E прямую, перпендикулярную прямой DF. Пусть M — точка их пересечения. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки M отрезок ME', равный отрезку ME, по другую сторону от прямой DF. Соединив точки D, F и E', получим искомый треугольник DFE', который и является образом треугольника DEF.

3.

При гомотетии с центром $H(x_0; y_0)$ и коэффициентом $k$, точка $B(x_B; y_B)$ переходит в точку $P_1(x_{P_1}; y_{P_1})$, и их координаты связаны формулами:
$x_{P_1} - x_0 = k \cdot (x_B - x_0)$
$y_{P_1} - y_0 = k \cdot (y_B - y_0)$
Подставим известные значения: $P_1(x; 5)$, $B(-7; y)$, $H(3; -1)$ и $k = -\frac{1}{2}$.

Для координаты x:
$x - 3 = -\frac{1}{2} \cdot (-7 - 3)$
$x - 3 = -\frac{1}{2} \cdot (-10)$
$x - 3 = 5$
$x = 8$

Для координаты y:
$5 - (-1) = -\frac{1}{2} \cdot (y - (-1))$
$6 = -\frac{1}{2} \cdot (y + 1)$
Умножим обе части на -2:
$-12 = y + 1$
$y = -13$

Ответ: $x = 8$, $y = -13$.

4.

В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$). Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке M. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle MAD$ и $\triangle MBC$.
Поскольку $BC \parallel AD$, то $\triangle MBC \sim \triangle MAD$ (по двум углам: $\angle M$ — общий, $\angle MBC = \angle MAD$ как соответственные при параллельных прямых BC и AD и секущей AM).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:
$k = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{4}$
Следовательно, отношение площадей:
$\frac{S_{\triangle MBC}}{S_{\triangle MAD}} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$
Отсюда $S_{\triangle MBC} = \frac{9}{16} S_{\triangle MAD}$.
Площадь трапеции ABCD равна разности площадей треугольников MAD и MBC:
$S_{ABCD} = S_{\triangle MAD} - S_{\triangle MBC}$
Подставим известные значения:
$14 = S_{\triangle MAD} - \frac{9}{16} S_{\triangle MAD}$
$14 = S_{\triangle MAD} (1 - \frac{9}{16})$
$14 = S_{\triangle MAD} \cdot \frac{7}{16}$
Теперь найдем площадь треугольника AMD:
$S_{\triangle MAD} = \frac{14 \cdot 16}{7} = 2 \cdot 16 = 32$ см$^2$.
Ответ: 32 см$^2$.

5.

Чтобы найти наименьшее значение суммы $DX + XE$, где точки D и E лежат в одной полуплоскости относительно прямой $m$, а точка X принадлежит этой прямой, используем метод симметрии.
Отразим одну из точек, например D, симметрично относительно прямой $m$. Получим точку D'. При осевой симметрии расстояние от любой точки на оси симметрии до исходной точки равно расстоянию до ее образа. Таким образом, для любой точки X на прямой $m$ выполняется равенство $DX = D'X$.
Следовательно, сумма $DX + XE$ равна сумме $D'X + XE$.
Сумма расстояний $D'X + XE$ будет наименьшей, когда точки D', X и E лежат на одной прямой. В этом случае наименьшее значение суммы равно длине отрезка D'E.
Для нахождения длины отрезка D'E рассмотрим прямоугольный треугольник. Проведем через точку D' прямую, параллельную прямой $m$, и через точку E — прямую, перпендикулярную $m$. Пусть они пересекаются в точке F. Получим прямоугольный треугольник D'FE.
Один катет этого треугольника, D'F, равен расстоянию между основаниями перпендикуляров, то есть $D'F = D_1E_1 = 5$ см.
Другой катет, EF, равен сумме длин перпендикуляров, так как точка D' находится в другой полуплоскости. Длина отрезка $D'D_1$ равна $DD_1 = 4$ см. Тогда $EF = EE_1 + D'D_1 = 8 + 4 = 12$ см.
По теореме Пифагора найдем гипотенузу D'E:
$(D'E)^2 = (D'F)^2 + (EF)^2$
$(D'E)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$
$D'E = \sqrt{169} = 13$ см.
Следовательно, наименьшее значение суммы $DX + XE$ равно 13 см.
Ответ: 13 см.