Страница 101 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

1. Две стороны треугольника равны $4$ см и $8$ см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

2. Два угла треугольника равны $30^\circ$ и $135^\circ$, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна $4$ см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами $4$ см, $5$ см и $7$ см.

4. Одна сторона треугольника на $2$ см больше другой, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна $7$ см.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами $7$ см, $15$ см и $20$ см.

6. Стороны треугольника равны $7$ см, $11$ см и $12$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

1. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $60^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

2. Два угла треугольника равны $30^\circ$ и $135^\circ$, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 4 см. Найдите сторону треугольника, лежащую против большего из данных углов.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 7 см.

4. Одна сторона треугольника на 2 см больше другой, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

6. Стороны треугольника равны 7 см, 11 см и 12 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его большей стороне.

1.

Даны две стороны треугольника $a = 4$ см, $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60°$.

Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Подставим известные значения:

$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(60°) = 16 + 64 - 64 \cdot \frac{1}{2} = 80 - 32 = 48$

$c = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения площади треугольника $S$ воспользуемся формулой:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$

Подставим известные значения:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(60°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см².

Ответ: третья сторона равна $4\sqrt{3}$ см, площадь равна $8\sqrt{3}$ см².

2.

Даны два угла треугольника $\alpha = 30°$ и $\beta = 135°$. Сторона $a$, лежащая против меньшего угла $\alpha$, равна 4 см. Нужно найти сторону $b$, лежащую против большего угла $\beta$.

Воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Подставим известные значения и выразим $b$:

$b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)} = \frac{4 \cdot \sin(135°)}{\sin(30°)}$

Зная, что $\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$b = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{2}$ см.

Ответ: сторона, лежащая против большего угла, равна $4\sqrt{2}$ см.

3.

Дан треугольник со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см и $c = 7$ см. Чтобы определить тип треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), нужно сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон.

Большая сторона $c = 7$ см.

Найдем квадрат большей стороны: $c^2 = 7^2 = 49$.

Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Сравним полученные значения: $49 > 41$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против большей стороны, является тупым. Следовательно, треугольник является тупоугольным.

Ответ: треугольник является тупоугольным.

4.

Пусть одна сторона треугольника равна $x$ см, тогда другая сторона, которая на 2 см больше, равна $(x+2)$ см. Третья сторона равна 7 см, а угол между первыми двумя сторонами равен $120°$.

Обозначим стороны: $a = x$, $b = x+2$, $c = 7$, и угол между $a$ и $b$ равен $\gamma = 120°$.

Применим теорему косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

$7^2 = x^2 + (x+2)^2 - 2x(x+2)\cos(120°)$

Так как $\cos(120°) = -\frac{1}{2}$, подставляем это значение в уравнение:

$49 = x^2 + (x^2 + 4x + 4) - 2x(x+2)(-\frac{1}{2})$

$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x(x+2)$

$49 = 2x^2 + 4x + 4 + x^2 + 2x$

$49 = 3x^2 + 6x + 4$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 6x - 45 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -15, а сумма равна -2. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем $x = 3$ см. Тогда вторая сторона равна $x+2 = 3+2 = 5$ см.

Стороны треугольника равны 3 см, 5 см и 7 см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = 3 + 5 + 7 = 15$ см.

Ответ: периметр треугольника равен 15 см.

5.

Дан треугольник со сторонами $a=7$ см, $b=15$ см и $c=20$ см. Нужно найти радиус вписанной окружности $r$.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{s}$, где $S$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $s$:

$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+15+20}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)} = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ см².

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$r = \frac{S}{s} = \frac{42}{21} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

6.

Даны стороны треугольника $a=7$ см, $b=11$ см и $c=12$ см. Нужно найти медиану, проведенную к его большей стороне.

Большая сторона — $c=12$ см. Обозначим медиану, проведенную к этой стороне, как $m_c$.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

Подставим известные значения сторон:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 121 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 242 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{340 - 144}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{196}$

$m_c = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$ см.

Ответ: медиана, проведённая к большей стороне, равна 7 см.

Контрольная работа № 2

Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 60-угольника.

2. Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной 8 см.

3. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна $5\sqrt{3}$ см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $2\sqrt{3}$ см, а радиус окружности, вписанной в него, — 3 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $4\sqrt{2}$ см, а прилежащие к ней углы равны $80^\circ$ и $55^\circ$. Найдите длины дуг, на которые делят окружность, описанную около треугольника, его вершины.

6. В правильном шестиугольнике ABCDEF соединили середины сторон $AB$, $CD$ и $EF$. Найдите сторону правильного треугольника, образовавшегося при этом, если $AB = a$.

Контрольная работа № 2

Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 60-угольника.

2. Найдите длину окружности, описанной около квадрата со стороной 8 см.

3. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна $5\sqrt{3}$ см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $2\sqrt{3}$ см, а радиус окружности, вписанной в него, — 3 см. Найдите:

1) сторону многоугольника;

2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $4\sqrt{2}$ см, а прилежащие к ней углы равны $80^\circ$ и $55^\circ$. Найдите длины дуг, на которые делят окружность, описанную около треугольника, его вершины.

6. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ соединили середины сторон $AB$, $CD$ и $EF$. Найдите сторону правильного треугольника, образовавшегося при этом, если $AB = a$.

1.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника используется формула: $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где n - количество сторон многоугольника.

В данном случае, для правильного 60-угольника n = 60. Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{(60-2) \cdot 180^\circ}{60} = \frac{58 \cdot 180^\circ}{60} = 58 \cdot 3^\circ = 174^\circ$.

Так как многоугольник правильный, все его углы равны.

Ответ: $174^\circ$.

2.

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали d. Диагональ квадрата со стороной a вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$.

По условию, сторона квадрата $a = 8$ см. Найдем диагональ:

$d = 8\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

$R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Длина окружности L (C) вычисляется по формуле $L = 2\pi R$.

$L = 2\pi \cdot (4\sqrt{2}) = 8\pi\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\pi\sqrt{2}$ см.

3.

Сначала найдем радиус R окружности. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность, связана с ее радиусом R формулой $a_3 = R\sqrt{3}$.

По условию $a_3 = 5\sqrt{3}$ см. Найдем радиус:

$5\sqrt{3} = R\sqrt{3} \implies R = 5$ см.

Далее найдем сторону правильного шестиугольника ($b_6$), описанного около этой же окружности. Для описанного многоугольника радиус окружности является радиусом вписанной в него окружности (апофемой), то есть $r = R = 5$ см.

Сторона правильного n-угольника ($b_n$), описанного около окружности радиуса r, вычисляется по формуле $b_n = 2r \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для шестиугольника n = 6:

$b_6 = 2r \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2 \cdot 5 \cdot \tan(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

4.

Пусть R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, a - сторона правильного многоугольника, n - количество его сторон. Эти величины связаны соотношением, которое следует из прямоугольного треугольника с гипотенузой R и катетами r и $a/2$:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$.

1) Найдем сторону многоугольника a:

Подставим известные значения $R = 2\sqrt{3}$ см и $r = 3$ см в формулу:

$(2\sqrt{3})^2 = 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

$12 = 9 + \frac{a^2}{4}$

$\frac{a^2}{4} = 12 - 9 = 3$

$a^2 = 12$

$a = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

2) Найдем количество сторон n:

Используем формулу, связывающую радиусы и количество сторон: $r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Подставим известные значения R и r:

$3 = 2\sqrt{3} \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из тригонометрии известно, что угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.

$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$

$n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$.

Ответ: 1) $2\sqrt{3}$ см; 2) 6.

5.

Пусть дан треугольник со стороной $c = 4\sqrt{2}$ см и прилежащими к ней углами $\angle A = 80^\circ$ и $\angle B = 55^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника, $\angle C$, противолежащий известной стороне:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (80^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Найдем радиус R описанной окружности по теореме синусов: $\frac{c}{\sin C} = 2R$.
$2R = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 8$ см.
Следовательно, $R = 4$ см.

3. Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, стягиваемой хордой (стороной треугольника), в два раза больше величины противолежащего этой стороне вписанного угла.
Дуга, противолежащая углу A, имеет меру $2\angle A = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$.
Дуга, противолежащая углу B, имеет меру $2\angle B = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$.
Дуга, противолежащая углу C, имеет меру $2\angle C = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Проверка: $160^\circ + 110^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

4. Найдем длины этих дуг по формуле $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги.
$L_1 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \frac{32\pi}{9}$ см.
$L_2 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 110^\circ}{180^\circ} = \frac{22\pi}{9}$ см.
$L_3 = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 90^\circ}{180^\circ} = 2\pi$ см.

Ответ: $\frac{32\pi}{9}$ см, $\frac{22\pi}{9}$ см, $2\pi$ см.

6.

Пусть O - центр правильного шестиугольника ABCDEF. Сторона шестиугольника $AB = a$. Пусть M, N, P - середины сторон AB, CD и EF соответственно. Требуется найти сторону образовавшегося треугольника MNP.

В силу симметрии, треугольник MNP является правильным. Для нахождения длины его стороны достаточно найти расстояние между двумя любыми его вершинами, например, MN.

Рассмотрим треугольник MON. Отрезки OM и ON соединяют центр шестиугольника с серединами его сторон, то есть являются апофемами. Длина апофемы правильного шестиугольника со стороной a равна $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $OM = ON = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Угол между апофемами, проведенными к соседним сторонам (например, AB и BC), равен центральному углу шестиугольника: $\frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Стороны AB и CD разделены стороной BC, поэтому угол между апофемами OM и ON равен сумме двух таких углов: $\angle MON = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника MON, чтобы найти сторону MN:

$MN^2 = OM^2 + ON^2 - 2 \cdot OM \cdot ON \cdot \cos(\angle MON)$

$MN^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

Учитывая, что $\cos(120^\circ) = -0.5 = -1/2$, получаем:

$MN^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$MN^2 = \frac{6a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} = \frac{9a^2}{4}$

$MN = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

Ответ: $\frac{3a}{2}$.