Страница 97 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

277. Симметричны ли точки $A (7; -3)$ и $B (3; 11)$ относительно точки $C (2; -7)$?

277. Симметричны ли точки A $(7; -3)$ и B $(3; 11)$ относительно точки C $(2; -7)$?

Две точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ симметричны относительно третьей точки $C(x_C; y_C)$, если точка $C$ является серединой отрезка $AB$.

Чтобы проверить, симметричны ли точки $A(7; -3)$ и $B(3; 11)$ относительно точки $C(2; -7)$, нужно найти координаты середины отрезка $AB$ и сравнить их с координатами точки $C$.

Координаты середины отрезка (обозначим ее $M$) находятся по формулам:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим значения координат точек $A$ и $B$:

$x_M = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_M = \frac{-3 + 11}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, середина отрезка $AB$ имеет координаты $M(5; 4)$.

Сравним координаты точки $M$ с координатами точки $C(2; -7)$.

Координата $x$ середины отрезка ($x_M=5$) не равна координате $x$ точки $C$ ($x_C=2$).

Координата $y$ середины отрезка ($y_M=4$) не равна координате $y$ точки $C$ ($y_C=-7$).

Поскольку точка $C$ не является серединой отрезка $AB$, то точки $A$ и $B$ не симметричны относительно точки $C$.

Ответ: нет.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки A $(-6; 4)$ и B $(8; -2)$.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки $A (-6; 4)$ и $B (8; -2)$.

По условию задачи точки $A(-6; 4)$ и $B(8; -2)$ симметричны относительно некоторой точки $C(x; y)$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $AB$.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Формулы для нахождения координат точки $C(x_C; y_C)$, которая является серединой отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, выглядят следующим образом:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные координаты точек $A$ и $B$ в эти формулы.

Вычислим абсциссу (координату $x$) точки $C$:
$x_C = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Вычислим ординату (координату $y$) точки $C$:
$y_C = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

279. Найдите координаты точки M, симметричной точке N $(1; -5)$ относительно точки K $(0; 3)$.

279. Найдите координаты точки $M$, симметричной точке $N (1; -5)$ относительно точки $K (0; 3)$.

Поскольку точка M симметрична точке N относительно точки K, то точка K является серединой отрезка MN.

Пусть координаты искомой точки M будут $(x_M; y_M)$. Даны координаты точек N(1; -5) и K(0; 3).

Координаты середины отрезка (в данном случае, точки K) находятся по формулам:

$x_K = \frac{x_N + x_M}{2}$

$y_K = \frac{y_N + y_M}{2}$

Выразим из этих формул координаты точки M:

$x_M = 2x_K - x_N$

$y_M = 2y_K - y_N$

Теперь подставим известные значения координат точек N и K:

$x_M = 2 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$

$y_M = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$

Следовательно, координаты точки M равны (-1; 11).

Ответ: M(-1; 11)

280. Точки $M (x; -3)$ и $B (2; y)$ симметричны относительно точки $C (3; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

280. Точки M $ (x; -3) $ и B $ (2; y) $ симметричны относительно
точки C $ (3; -2) $. Найдите $ x $ и $ y $.

Если точки $M(x; -3)$ и $B(2; y)$ симметричны относительно точки $C(3; -2)$, то точка $C$ является серединой отрезка $MB$. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов.

Формулы для нахождения координат середины отрезка $C(x_C; y_C)$ с концами в точках $M(x_M; y_M)$ и $B(x_B; y_B)$ выглядят так:
$x_C = \frac{x_M + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_M + y_B}{2}$

Подставим известные координаты в эти формулы, чтобы найти $x$ и $y$.

Найдём x:
Используем формулу для координаты $x$:
$3 = \frac{x + 2}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$6 = x + 2$
Отсюда находим $x$:
$x = 6 - 2$
$x = 4$

Найдём y:
Используем формулу для координаты $y$:
$-2 = \frac{-3 + y}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$-4 = -3 + y$
Отсюда находим $y$:
$y = -4 + 3$
$y = -1$

Ответ: $x = 4$, $y = -1$.

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (3; -1).$

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (3; -1)$.

Уравнение исходной окружности: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 7$.
Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус. Таким образом, центр исходной окружности находится в точке $C(-1; 4)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 7$.
При симметрии окружности относительно некоторой точки её радиус не меняется, а центр отображается симметрично относительно этой точки. Пусть $C(x_C; y_C)$ — центр исходной окружности, $P(x_P; y_P)$ — точка, относительно которой производится симметрия, а $C'(x'_C; y'_C)$ — центр новой окружности. Точка $P$ является серединой отрезка $CC'$. Координаты нового центра $C'$ можно найти по формулам середины отрезка:
$x'_C = 2x_P - x_C$
$y'_C = 2y_P - y_C$

1) начала координат;
В этом случае точка симметрии — это начало координат, то есть точка $P(0; 0)$. Центр исходной окружности — $C(-1; 4)$.
Найдём координаты нового центра $C'(x'_C; y'_C)$:
$x'_C = 2 \cdot 0 - (-1) = 1$
$y'_C = 2 \cdot 0 - 4 = -4$
Новый центр находится в точке $C'(1; -4)$.
Радиус остаётся неизменным, $R^2 = 7$.
Уравнение симметричной окружности:
$(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 7$
$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 7$
Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 7$.

2) точки М (3; –1).
В этом случае точка симметрии — это точка $M(3; -1)$. Центр исходной окружности — $C(-1; 4)$.
Найдём координаты нового центра $C'(x'_C; y'_C)$:
$x'_C = 2 \cdot 3 - (-1) = 6 + 1 = 7$
$y'_C = 2 \cdot (-1) - 4 = -2 - 4 = -6$
Новый центр находится в точке $C'(7; -6)$.
Радиус остаётся неизменным, $R^2 = 7$.
Уравнение симметричной окружности:
$(x - 7)^2 + (y - (-6))^2 = 7$
$(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 7$
Ответ: $(x - 7)^2 + (y + 6)^2 = 7$.

282. На рисунке 78 прямые $AB$ и $CD$ параллельны, $AB = CD$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 78

282. На рисунке 78 прямые $AB$ и $CD$ параллельны, $AB = CD$. Докажите, что точки $B$ и $C$ симметричны относительно точки $O$.

Рис. 78

Для того чтобы доказать, что точки B и C симметричны относительно точки O, необходимо показать, что точка O является серединой отрезка BC. Это означает, что нам нужно доказать равенство отрезков $BO$ и $CO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$.

В этих треугольниках:

1. $AB = CD$ по условию задачи.
2. $\angle OBA = \angle OCD$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $BC$.
3. $\angle OAB = \angle ODC$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AD$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ равен треугольнику $\triangle DOC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, $BO = CO$.

Поскольку отрезки $BO$ и $CO$ равны и лежат на одной прямой $BC$, точка $O$ является серединой отрезка $BC$. По определению центральной симметрии, это означает, что точки B и C симметричны относительно точки O.

Ответ: Что и требовалось доказать.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (4; -2)$.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M(4; -2)$.

1) начала координат

Две прямые, симметричные относительно точки, параллельны друг другу. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $3x + 2y = 4$, имеет вид $3x + 2y + C = 0$, где $C$ — некоторая константа.

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной прямой $l: 3x + 2y = 4$ относительно начала координат $O(0; 0)$, можно использовать формулы преобразования координат при центральной симметрии.

Пусть точка $A'(x', y')$ принадлежит искомой прямой. Тогда точка $A(x, y)$, симметричная ей относительно начала координат, должна лежать на исходной прямой. Координаты симметричной точки $A$ выражаются через координаты $A'$ как $x = -x'$ и $y = -y'$.

Подставим эти выражения в уравнение исходной прямой $3x + 2y = 4$:
$3(-x') + 2(-y') = 4$
$-3x' - 2y' = 4$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить стандартный вид:
$3x' + 2y' = -4$

Заменив $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$, получим уравнение искомой прямой: $3x + 2y = -4$ или $3x + 2y + 4 = 0$.

Ответ: $3x + 2y + 4 = 0$.

2) точки М (4; -2)

Аналогично первому пункту, искомая прямая будет параллельна данной, и ее уравнение будет иметь вид $3x + 2y + C = 0$.

Пусть точка $A'(x', y')$ принадлежит искомой прямой. Точка $M(4; -2)$ является центром симметрии. Точка $A(x, y)$, симметричная $A'$ относительно $M$, должна лежать на исходной прямой $3x + 2y = 4$.

Поскольку $M$ — середина отрезка $AA'$, то ее координаты равны полусуммам координат концов отрезка: $x_M = \frac{x + x'}{2} \implies 4 = \frac{x + x'}{2} \implies x = 8 - x'$
$y_M = \frac{y + y'}{2} \implies -2 = \frac{y + y'}{2} \implies y = -4 - y'$

Теперь подставим выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной прямой $3x + 2y = 4$:
$3(8 - x') + 2(-4 - y') = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:
$24 - 3x' - 8 - 2y' = 4$
$16 - 3x' - 2y' = 4$
$-3x' - 2y' = 4 - 16$
$-3x' - 2y' = -12$

Умножим обе части уравнения на $-1$:
$3x' + 2y' = 12$

Заменив $x'$ и $y'$ на $x$ и $y$, получаем уравнение искомой прямой: $3x + 2y = 12$ или $3x + 2y - 12 = 0$.

Ответ: $3x + 2y - 12 = 0$.

284. Отметьте точки $K$ и $O$. Постройте образ точки $A$ при повороте вокруг центра $O$:
1) на угол $70^\circ$ по часовой стрелке;
2) на угол $115^\circ$ против часовой стрелки.

284. Отметьте точки K и O. Постройте образ точки A при повороте вокруг центра O:

1) на угол $70^\circ$ по часовой стрелке;

2) на угол $115^\circ$ против часовой стрелки.

Для решения задачи необходимо выполнить геометрические построения. Сначала произвольным образом отметим на плоскости точку $K$ и центр поворота $O$. В условии задачи, по-видимому, имеется опечатка, где просят построить образ точки $A$, в то время как отмечена точка $K$. Будем считать, что необходимо построить образ точки $K$.

1) на угол 70° по часовой стрелке

Чтобы построить образ точки $K$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $70°$ по часовой стрелке (обозначим его $K'$), нужно выполнить следующие шаги:

1. Соединить точки $O$ и $K$ отрезком.
2. С помощью транспортира построить луч, выходящий из точки $O$, который образует с лучом $OK$ угол $70°$. Угол откладывается в направлении движения часовой стрелки.
3. На построенном луче от точки $O$ отложить отрезок $OK'$, длина которого равна длине отрезка $OK$. Это удобнее всего сделать с помощью циркуля: установить его ножки в точки $O$ и $K$, а затем, не меняя раствора, провести дугу с центром в $O$ до пересечения с новым лучом.
4. Точка пересечения $K'$ и есть искомый образ точки $K$.

По определению поворота, для полученной точки $K'$ выполняются два условия: $OK' = OK$ и угол $\angle KOK' = 70°$.
Ответ: Точка $K'$, полученная в результате описанного построения, является образом точки $K$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $70°$ по часовой стрелке.

2) на угол 115° против часовой стрелки

Чтобы построить образ точки $K$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $115°$ против часовой стрелки (обозначим его $K''$), нужно выполнить аналогичные действия:

1. Взять исходный отрезок $OK$.
2. С помощью транспортира построить луч, выходящий из точки $O$, который образует с лучом $OK$ угол $115°$. На этот раз угол откладывается в направлении против движения часовой стрелки.
3. На этом новом луче от точки $O$ отложить отрезок $OK''$, равный по длине отрезку $OK$.
4. Полученная точка $K''$ — искомый образ точки $K$.

Для построенной точки $K''$ выполняются условия: $OK'' = OK$ и угол $\angle KOK'' = 115°$.
Ответ: Точка $K''$, полученная в результате описанного построения, является образом точки $K$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $115°$ против часовой стрелки.

285. Даны отрезок $MN$ и точка $O$ (рис. 79). Постройте образ отрезка $MN$ при повороте на угол $40^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Рис. 79

285. Даны отрезок $MN$ и точка $O$ (рис. 79). Постройте образ отрезка $MN$ при повороте на угол $40^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Чтобы построить образ отрезка MN при повороте вокруг центра O на угол 40° против часовой стрелки, необходимо найти образы его конечных точек, M и N, при данном повороте. Пусть M' и N' — это образы точек M и N соответственно. Тогда отрезок M'N' будет искомым образом отрезка MN.

Построение выполняется с помощью циркуля, линейки и транспортира в несколько шагов:

1. Построим образ точки M. Для этого соединим точку M с центром поворота O, получив отрезок OM.
2. С помощью транспортира отложим от луча OM угол в 40° в направлении против часовой стрелки. Проведем луч из точки O под этим углом.
3. С помощью циркуля измерим длину отрезка OM. На луче, построенном в предыдущем шаге, отложим от точки O отрезок OM', равный по длине отрезку OM. Точка M' — это образ точки M. По построению, $OM' = OM$ и $\angle MOM' = 40^\circ$.
4. Аналогично построим образ точки N. Соединим точку N с центром поворота O (отрезок ON).
5. От луча ON отложим угол в 40° против часовой стрелки и проведем соответствующий луч из точки O.
6. Измерим циркулем расстояние ON и отложим на построенном луче отрезок ON', равный ON. Точка N' — это образ точки N. По построению, $ON' = ON$ и $\angle NON' = 40^\circ$.
7. Наконец, соединим полученные точки M' и N' отрезком.

Полученный отрезок M'N' является искомым образом отрезка MN при повороте вокруг центра O на угол 40° против часовой стрелки.

Ответ: Отрезок M'N', построенный согласно вышеописанному алгоритму, является искомым образом.

286. Точка $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ (рис. 80). Укажите образы точек $B$, $E$, $O$, стороны $DE$, отрезка $OF$, диагонали $AD$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $60^\circ$.

Рис. 80

286. Точка $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$ (рис. 80). Укажите образы точек $B$, $E$, $O$, стороны $DE$, отрезка $OF$, диагонали $AD$ при повороте вокруг точ-ки $O$ против часовой стрелки на угол $60^\circ$.

Рис. 80

Правильный шестиугольник $ABCDEF$ состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Это означает, что все стороны шестиугольника равны, все отрезки от центра до вершин равны ($OA = OB = OC = OD = OE = OF$), и все углы между соседними отрезками, соединяющими центр с вершинами, равны $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Например, $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = 60^\circ$.

Поворот против часовой стрелки на $60^\circ$ вокруг центра $O$ будет переводить каждую вершину в следующую по порядку: $A \to B, B \to C, C \to D, D \to E, E \to F, F \to A$.

Образ точки B: При повороте вокруг точки $O$ на $60^\circ$ против часовой стрелки точка $B$ переходит в следующую вершину, то есть в точку $C$, так как $\angle BOC = 60^\circ$.Ответ: точка C.

Образ точки E: Аналогично, при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки точка $E$ переходит в следующую за ней вершину $F$, так как $\angle EOF = 60^\circ$.Ответ: точка F.

Образ точки O: Точка $O$ является центром поворота, поэтому она остается на месте (является неподвижной точкой).Ответ: точка O.

Образ стороны DE: Образом отрезка при повороте является отрезок. Чтобы найти образ стороны $DE$, найдем образы ее концов — точек $D$ и $E$. Точка $D$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки переходит в точку $E$. Точка $E$ при таком же повороте переходит в точку $F$. Следовательно, сторона $DE$ переходит в сторону $EF$.Ответ: сторона EF.

Образ отрезка OF: Найдем образы концов отрезка $OF$. Точка $O$ — центр поворота, она переходит в себя. Точка $F$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки переходит в точку $A$. Таким образом, отрезок $OF$ переходит в отрезок $OA$.Ответ: отрезок OA.

Образ диагонали AD: Найдем образы концов диагонали $AD$. Точка $A$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки переходит в точку $B$. Точка $D$ переходит в точку $E$. Следовательно, диагональ $AD$ переходит в диагональ $BE$.Ответ: диагональ BE.