Страница 96 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 2$ и $x = -4$. Одна из его вершин имеет координаты $(-6; -1)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 2$ и $x = -4$. Одна из его вершин имеет координаты $(-6; -1)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат, — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Точка пересечения осей симметрии является центром симметрии прямоугольника.

В данном случае оси симметрии заданы уравнениями $y = 2$ и $x = -4$. Их точка пересечения, центр прямоугольника $O$, имеет координаты $(-4; 2)$.

Пусть данная вершина прямоугольника — это точка $A$ с координатами $(-6; -1)$. Остальные три вершины (назовем их $B$, $C$ и $D$) можно найти, используя свойства симметрии относительно осей и центра прямоугольника.

Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси $y = 2$. Назовем ее $B$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y=d$ координата $x$ точки не меняется, а новая координата $y'$ вычисляется по формуле $y' = 2d - y$.
Координата $x$ вершины $B$ будет такой же, как у $A$: $x_B = -6$.
Координата $y$ вершины $B$ будет: $y_B = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — $(-6; 5)$.

Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси $x = -4$. Назовем ее $D$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x=c$ координата $y$ точки не меняется, а новая координата $x'$ вычисляется по формуле $x' = 2c - x$.
Координата $y$ вершины $D$ будет такой же, как у $A$: $y_D = -1$.
Координата $x$ вершины $D$ будет: $x_D = 2 \cdot (-4) - (-6) = -8 + 6 = -2$.
Таким образом, координаты вершины $D$ — $(-2; -1)$.

Четвертая вершина $C$ является диагонально противоположной вершине $A$. Её можно найти как точку, симметричную $A$ относительно центра прямоугольника $O(-4; 2)$. Координаты точки $(x', y')$, симметричной точке $(x; y)$ относительно центра $(x_O; y_O)$, вычисляются по формулам $x' = 2x_O - x$ и $y' = 2y_O - y$.
Координата $x$ вершины $C$: $x_C = 2 \cdot (-4) - (-6) = -8 + 6 = -2$.
Координата $y$ вершины $C$: $y_C = 2 \cdot 2 - (-1) = 4 + 1 = 5$.
Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-2; 5)$.

Мы нашли координаты трех остальных вершин прямоугольника: $(-6; 5)$, $(-2; -1)$ и $(-2; 5)$.

Ответ: $(-6; 5)$, $(-2; -1)$, $(-2; 5)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, они пересекаются в начале координат $O(0; 0)$, и вершины ромба также лежат на осях. Обозначим вершины ромба как $A$, $B$, $C$ и $D$.

Пусть полудиагонали ромба равны $a$ и $b$, где $a > 0$ и $b > 0$. Тогда координаты вершин можно записать следующим образом: $A(a; 0)$ и $C(-a; 0)$ на оси $Ox$, $B(0; b)$ и $D(0; -b)$ на оси $Oy$.

Найдем координаты середин четырех сторон ромба по формуле координат середины отрезка $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$:

Середина стороны $AB$ (между $A(a; 0)$ и $B(0; b)$) имеет координаты: $(\frac{a+0}{2}; \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

Середина стороны $BC$ (между $B(0; b)$ и $C(-a; 0)$) имеет координаты: $(\frac{0-a}{2}; \frac{b+0}{2}) = (-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$.

Середина стороны $CD$ (между $C(-a; 0)$ и $D(0; -b)$) имеет координаты: $(\frac{-a+0}{2}; \frac{0-b}{2}) = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

Середина стороны $DA$ (между $D(0; -b)$ и $A(a; 0)$) имеет координаты: $(\frac{0+a}{2}; \frac{-b+0}{2}) = (\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

По условию задачи, середина одной из сторон имеет координаты $(-2; -6)$. Обе координаты отрицательны. Так как мы приняли, что $a>0$ и $b>0$, этому условию удовлетворяют только координаты середины стороны $CD$: $(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$.

Приравняем соответствующие координаты, чтобы найти $a$ и $b$:

$-\frac{a}{2} = -2 \implies a = 4$.

$-\frac{b}{2} = -6 \implies b = 12$.

Теперь, зная значения $a=4$ и $b=12$, мы можем определить координаты всех вершин ромба:

$A(a; 0) = (4; 0)$

$B(0; b) = (0; 12)$

$C(-a; 0) = (-4; 0)$

$D(0; -b) = (0; -12)$

Ответ: Координаты вершин ромба: $(4; 0)$, $(0; 12)$, $(-4; 0)$, $(0; -12)$.

270. Отметьте точки A и B. Постройте точку C, относительно которой точка B симметрична точке A.

270. Отметьте точки $A$ и $B$. Постройте точку $C$, относительно которой точка $B$ симметрична точке $A$.

По условию задачи, точка B симметрична точке A относительно точки C. Это означает, что точка C является центром симметрии для точек A и B.

По определению центральной симметрии, точки A и B симметричны относительно центра C, если точка C является серединой отрезка AB. Это значит, что точки A, B и C лежат на одной прямой, и расстояния от центра C до точек A и B равны, то есть $AC = CB$.

Таким образом, чтобы построить точку C, необходимо найти середину отрезка, соединяющего точки A и B.

Алгоритм построения точки C с помощью циркуля и линейки:

1. Отметьте на плоскости две произвольные точки A и B.
2. Соедините точки A и B отрезком прямой линии.
3. Возьмите циркуль. Установите его раствор (радиус) на величину, заведомо большую половины длины отрезка AB.
4. Поставив ножку циркуля в точку A, проведите дугу окружности.
5. Не меняя раствора циркуля, поставьте его ножку в точку B и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках (назовем их D и E).
6. С помощью линейки проведите прямую через полученные точки пересечения D и E.
7. Точка пересечения этой прямой с отрезком AB и будет искомой точкой C. Эта точка является серединой отрезка AB.

Ответ: Искомая точка C является серединой отрезка AB. Для ее построения необходимо соединить точки A и B отрезком и найти его середину.

271. Даны отрезок $MN$ и точка $A$ (рис. 77). Постройте отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$.

Рис. 77

271. Даны отрезок $MN$ и точка $A$ (рис. 77). Постройте отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$.

Рис. 77

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$, необходимо найти точки $M'$ и $N'$, которые симметричны точкам $M$ и $N$ соответственно относительно точки $A$, и соединить их отрезком.

Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно центра симметрии $A$, если точка $A$ является серединой отрезка $PP'$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $M$ и $A$. На этой прямой отложить от точки $A$ отрезок $AM'$, равный по длине отрезку $MA$, так, чтобы точка $A$ лежала между $M$ и $M'$. Точка $M'$ будет симметрична точке $M$.
2. Аналогично провести прямую через точки $N$ и $A$. На этой прямой отложить от точки $A$ отрезок $AN'$, равный по длине отрезку $NA$, так, чтобы точка $A$ лежала между $N$ и $N'$. Точка $N'$ будет симметрична точке $N$.
3. Соединить точки $M'$ и $N'$ отрезком. Отрезок $M'N'$ — искомый.

Для выполнения построения на клетчатой бумаге можно использовать метод "шагов":

• Чтобы из точки $M$ попасть в точку $A$, необходимо сместиться на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх. Чтобы найти симметричную точку $M'$, нужно выполнить такое же смещение, но уже от точки $A$: смещаемся от $A$ на 1 клетку влево и на 2 клетки вверх.
• Чтобы из точки $N$ попасть в точку $A$, необходимо сместиться на 3 клетки влево и на 1 клетку вниз. Чтобы найти симметричную точку $N'$, нужно выполнить такое же смещение от точки $A$: смещаемся от $A$ на 3 клетки влево и на 1 клетку вниз.

Для проверки можно использовать координатный метод. Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки. Пусть левый нижний узел видимой части сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда координаты точек:

$M(2, 1)$, $N(4, 4)$, $A(1, 3)$.

Координаты $(x', y')$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $A(x_A, y_A)$, вычисляются по формулам:

$x' = 2x_A - x$

$y' = 2y_A - y$

Найдем координаты точки $M'$:

$x_{M'} = 2 \cdot 1 - 2 = 0$

$y_{M'} = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$

Получаем $M'(0, 5)$.

Найдем координаты точки $N'$:

$x_{N'} = 2 \cdot 1 - 4 = 2 - 4 = -2$

$y_{N'} = 2 \cdot 3 - 4 = 6 - 4 = 2$

Получаем $N'(-2, 2)$.

Соединив точки $M'(0, 5)$ и $N'(-2, 2)$, мы получим искомый отрезок.

Ответ: Чтобы построить отрезок $M'N'$, симметричный отрезку $MN$ относительно точки $A$, необходимо построить точки $M'$ и $N'$, симметричные соответственно точкам $M$ и $N$ относительно точки $A$. Точка $M'$ строится на продолжении отрезка $MA$ за точку $A$ так, что $AM' = MA$. Аналогично строится точка $N'$ на продолжении отрезка $NA$ за точку $A$ так, что $AN' = NA$. Искомый отрезок – это отрезок, соединяющий точки $M'$ и $N'$.

272. Начертите треугольник $MNK$ и отметьте точку $A$, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $A$.

272. Начертите треугольник MNK и отметьте точку A, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки A.

Для построения треугольника, симметричного данному треугольнику $MNK$ относительно точки $A$, нужно построить точки $M'$, $N'$ и $K'$, симметричные соответственно вершинам $M$, $N$ и $K$ относительно точки $A$. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Построение точки $M'$, симметричной точке $M$.
Через точки $M$ и $A$ проводим прямую. На этой прямой от точки $A$ откладываем отрезок $AM'$, равный отрезку $MA$, так, чтобы точка $A$ оказалась серединой отрезка $MM'$. Точка $M'$ – искомая.

2. Построение точки $N'$, симметричной точке $N$.
Аналогично, через точки $N$ и $A$ проводим прямую. На этой прямой от точки $A$ откладываем отрезок $AN'$, равный отрезку $NA$, так, чтобы точка $A$ была серединой отрезка $NN'$. Точка $N'$ – искомая.

3. Построение точки $K'$, симметричной точке $K$.
Проводим прямую через точки $K$ и $A$. На этой прямой от точки $A$ откладываем отрезок $AK'$, равный отрезку $KA$, так, чтобы точка $A$ стала серединой отрезка $KK'$. Точка $K'$ – искомая.

4. Построение искомого треугольника.
Соединяем отрезками полученные точки $M'$, $N'$ и $K'$. Треугольник $M'N'K'$ является симметричным треугольнику $MNK$ относительно точки $A$.

В результате такого построения получается треугольник, равный исходному ($ \triangle MNK = \triangle M'N'K' $), но "перевернутый" относительно центра симметрии $A$.

Ответ: Треугольник $M'N'K'$, вершины которого ($M', N', K'$) симметричны вершинам данного треугольника ($M, N, K$) относительно точки $A$, является искомым.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, не принадлежащую углу. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, не принадлежащую углу. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

Для построения угла, симметричного углу $ABC$ относительно точки $O$, необходимо выполнить центральную симметрию для трех точек, определяющих угол: вершины $B$ и двух точек $A$ и $C$ на его сторонах. Точка $P'$ называется симметричной точке $P$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $PP'$.

Построение выполняется в следующем порядке:

1. Начертить исходный угол $ABC$ и центр симметрии $O$.

   Изобразим на плоскости произвольный угол $ABC$ и точку $O$, не принадлежащую ему.

2. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$.

   Проводим прямую через точки $A$ и $O$. На этой прямой от точки $O$ откладываем отрезок $OA'$, равный отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ оказалась между $A$ и $A'$.

3. Построить точку $B'$, симметричную точке $B$.

   Аналогично строим точку $B'$: проводим прямую через $B$ и $O$ и откладываем отрезок $OB' = OB$ так, чтобы $O$ была серединой отрезка $BB'$.

4. Построить точку $C'$, симметричную точке $C$.

   Таким же образом строим точку $C'$: проводим прямую через $C$ и $O$ и откладываем отрезок $OC' = OC$ так, чтобы $O$ была серединой отрезка $CC'$.

5. Построить искомый угол $A'B'C'$.

   Соединяем построенные точки. Проводим лучи из вершины $B'$ через точки $A'$ и $C'$. Полученный угол $A'B'C'$ и есть искомый угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

При центральной симметрии угол переходит в равный ему угол ($\angle ABC = \angle A'B'C'$), а его стороны — в параллельные им лучи, направленные в противоположную сторону (луч $BA$ параллелен лучу $B'A'$, а луч $BC$ параллелен лучу $B'C'$).

Ответ: Искомый угол $A'B'C'$ строится путем нахождения точек $A'$, $B'$, $C'$, симметричных соответственно точкам $A$, $B$, $C$ относительно центра $O$, и проведения лучей $B'A'$ и $B'C'$.

274. Может ли образом окружности при центральной симметрии быть эта же окружность?

274. Может ли образом окружности при центральной симметрии быть эта же окружность?

Да, образ окружности при центральной симметрии может быть этой же окружностью.

Рассмотрим, при каком условии это возможно.

Центральная симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Следовательно, образом окружности радиуса $R$ при центральной симметрии будет окружность того же радиуса $R$.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. И пусть мы применяем центральную симметрию относительно некоторой точки $S$ (центра симметрии).

При этой симметрии центр исходной окружности, точка $O$, перейдет в точку $O'$, такую, что $S$ является серединой отрезка $OO'$. Эта точка $O'$ станет центром новой окружности.

Для того чтобы образом окружности была та же самая окружность, необходимо, чтобы их радиусы и центры совпадали. Поскольку радиус сохраняется, условие сводится к тому, что центр новой окружности $O'$ должен совпадать с центром старой окружности $O$.

Если $O' = O$, то точка $S$, будучи серединой отрезка $OO'$, должна совпадать с точкой $O$.

Таким образом, окружность переходит в себя при центральной симметрии тогда и только тогда, когда центр симметрии совпадает с центром окружности.

Ответ: Да, может, если центр симметрии совпадает с центром окружности.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке K $(-3; -4)$ относительно начала координат.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке $K(-3;-4)$ относительно начала координат.

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке относительно начала координат, необходимо изменить знаки ее координат на противоположные. Это следует из того, что начало координат $O(0; 0)$ является серединой отрезка, соединяющего исходную точку $K(x; y)$ и симметричную ей точку $K'(x'; y')$.

Координаты середины отрезка $KK'$ равны координатам точки $O$:

$\frac{x + x'}{2} = 0 \implies x' = -x$

$\frac{y + y'}{2} = 0 \implies y' = -y$

Для точки $K(-3; -4)$ имеем:

$x' = -(-3) = 3$

$y' = -(-4) = 4$

Таким образом, координаты симметричной точки равны $(3; 4)$.

Ответ: $(3; 4)$

276. Среди точек $A (5; -2)$, $B (1; -3)$, $C (-5; 2)$, $D (4; 7)$, $E (-4; -7)$, $F (-1; 3)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

276. Среди точек $A (5; -2)$, $B (1; -3)$, $C (-5; 2)$, $D (4; 7)$, $E (-4; -7)$, $F (-1; 3)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

Две точки $M(x; y)$ и $N(-x; -y)$ являются симметричными относительно начала координат. Чтобы найти пары симметричных точек среди заданных, необходимо для каждой точки найти точку, обе координаты которой имеют противоположные знаки.

Выполним проверку для каждой точки:

1. Для точки $A(5; -2)$ ищем точку с координатами $(-5; -(-2))$, то есть $(-5; 2)$. В списке есть такая точка — это $C(-5; 2)$. Следовательно, первая пара симметричных точек — A и C.

2. Для точки $B(1; -3)$ ищем точку с координатами $(-1; -(-3))$, то есть $(-1; 3)$. В списке есть такая точка — это $F(-1; 3)$. Следовательно, вторая пара симметричных точек — B и F.

3. Для точки $D(4; 7)$ ищем точку с координатами $(-4; -7)$. В списке есть такая точка — это $E(-4; -7)$. Следовательно, третья пара симметричных точек — D и E.

Таким образом, найдены все пары точек, симметричных относительно начала координат.

Ответ: A и C; B и F; D и E.