Страница 93 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $BC$ является образом стороны $AB$;

2) отрезок $AC$ является образом отрезка $DE$;

3) отрезок $AD$ является образом отрезка $BD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 73

244. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $BC$ является образом стороны $AB$;

2) отрезок $AC$ является образом отрезка $DE$;

3) отрезок $AD$ является образом отрезка $BD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 73

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$ на один и тот же вектор $\vec{v} = (a, b)$. При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему и параллельный ему отрезок.

1) сторона BC является образом стороны AB;

Для того чтобы сторона $BC$ была образом стороны $AB$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы отрезок $BC$ был равен по длине и параллелен отрезку $AB$.

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $|AB| = |BC|$. Условие равенства длин выполняется.

Однако, для того чтобы отрезки $AB$ и $BC$ были параллельны, точки $A, B, C$ должны лежать на одной прямой. Но $A, B, C$ являются вершинами треугольника и, следовательно, не могут лежать на одной прямой. Таким образом, сторона $AB$ не параллельна стороне $BC$.

Поскольку условие параллельности не выполняется, такого параллельного переноса не существует.

Ответ: Нет, не существует.

2) отрезок AC является образом отрезка DE;

Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. То есть, $DE \parallel AC$ и $|DE| = \frac{1}{2}|AC|$.

Для того чтобы отрезок $AC$ был образом отрезка $DE$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы они были параллельны и равны по длине.

Условие параллельности ($AC \parallel DE$) выполняется.

Однако условие равенства длин не выполняется, так как $|AC| = 2|DE|$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, то $|AC| \neq 0$, а значит $|AC| \neq |DE|$.

Следовательно, такого параллельного переноса не существует.

Ответ: Нет, не существует.

3) отрезок AD является образом отрезка BD?

Точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что точка $D$ лежит на отрезке $AB$ и делит его на два равных отрезка: $|AD| = |BD|$. Таким образом, условие равенства длин отрезков $AD$ и $BD$ выполняется.

Оба отрезка, $AD$ и $BD$, лежат на одной прямой $AB$. Коллинеарные отрезки считаются параллельными. Следовательно, условие параллельности выполняется.

Теперь найдем вектор переноса. Чтобы отрезок $BD$ перешел в отрезок $AD$, необходимо, чтобы конец одного отрезка перешел в начало другого. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{BD}$. При таком переносе точка $B$ перейдет в точку $D$. Найдем образ точки $D$. Точка $D$ перейдет в точку $D'$, такую что $\vec{DD'} = \vec{v} = \vec{BD}$.

Поскольку $D$ — середина $AB$, то векторы $\vec{BD}$ и $\vec{DA}$ равны (они сонаправлены и их длины равны: $|\vec{BD}| = |\vec{DA}|$).

Таким образом, $\vec{DD'} = \vec{DA}$, что означает, что точка $D'$ совпадает с точкой $A$.

Итак, при параллельном переносе на вектор $\vec{BD}$ точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $D$ переходит в точку $A$. Следовательно, отрезок $BD$ переходит в отрезок $DA$, который является тем же множеством точек, что и отрезок $AD$.

Такой параллельный перенос существует.

Ответ: Да, существует. Вектор переноса $\vec{a} = \vec{BD}$.

245. Постройте образ треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 73).

Рис. 73

245. Постройте образ треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 73).

Рис. 73

Для того чтобы построить образ треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$, необходимо выполнить перенос каждой из его вершин ($A, B, C$) на этот вектор. Полученные в результате точки $A', B', C'$ станут вершинами искомого треугольника.

Определение вектора переноса

Сначала определим, как именно вектор $\vec{a}$ смещает точки. Глядя на рисунок, можно заметить, что для перемещения из начальной точки вектора в его конечную (указанную стрелкой) необходимо сдвинуться на 1 клетку влево и 3 клетки вверх. Следовательно, каждая точка треугольника должна быть перенесена по этому же правилу.

Перенос вершин треугольника

Применим это правило к каждой из вершин треугольника $ABC$: вершину $A$ перемещаем на 1 клетку влево и 3 клетки вверх, получая точку $A'$; вершину $B$ перемещаем на 1 клетку влево и 3 клетки вверх, получая точку $B'$; вершину $C$ перемещаем на 1 клетку влево и 3 клетки вверх, получая точку $C'$.

Построение итогового треугольника

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками, мы получим треугольник $A'B'C'$, который и является искомым образом. Для точности можно воспользоваться системой координат. Если принять левый нижний угол сетки за начало координат $(0,0)$, то исходные вершины имеют координаты: $A(1,1)$, $B(0,3)$ и $C(4,2)$. Вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(-1, 3)$. Тогда координаты новых вершин будут:

$A' = (1-1, 1+3) = (0,4)$

$B' = (0-1, 3+3) = (-1,6)$

$C' = (4-1, 2+3) = (3,5)$

Искомый треугольник $A'B'C'$ имеет вершины в этих точках.

Ответ: Чтобы построить образ треугольника $ABC$, нужно каждую его вершину сместить на 1 клетку влево и 3 клетки вверх. Полученные точки $A', B', C'$ соединяются отрезками, образуя искомый треугольник $A'B'C'$.

246. Постройте образы точек $A (2; 6)$, $B (1; -3)$ и $C (0; -2)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{m}(0; -3)$. Запишите координаты построенных точек.

246. Постройте образы точек $A (2; 6)$, $B (1; -3)$ и $C (0; -2)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{m} (0; -3)$. Запишите координаты построенных точек.

При параллельном переносе точки с координатами $(x; y)$ на вектор $\vec{v}(a; b)$ ее образ, точка с координатами $(x'; y')$, находится по формулам:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

В данной задаче вектор переноса $\vec{m}(0; -3)$, следовательно, $a = 0$ и $b = -3$. Для нахождения координат образов точек A, B и C нужно к их исходным координатам прибавить соответствующие координаты вектора $\vec{m}$.

Геометрически построение образа точки при таком переносе означает, что каждая точка смещается на 0 единиц по горизонтали (то есть остается на той же вертикальной прямой) и на 3 единицы вниз по вертикали.

Образ точки A (2; 6)

Пусть $A'(x'_{A}; y'_{A})$ — образ точки $A(2; 6)$. Найдем ее координаты:

$x'_{A} = x_A + a = 2 + 0 = 2$

$y'_{A} = y_A + b = 6 + (-3) = 3$

Следовательно, координаты образа точки A: $(2; 3)$.

Ответ: $A'(2; 3)$

Образ точки B (1; -3)

Пусть $B'(x'_{B}; y'_{B})$ — образ точки $B(1; -3)$. Найдем ее координаты:

$x'_{B} = x_B + a = 1 + 0 = 1$

$y'_{B} = y_B + b = -3 + (-3) = -6$

Следовательно, координаты образа точки B: $(1; -6)$.

Ответ: $B'(1; -6)$

Образ точки C (0; -2)

Пусть $C'(x'_{C}; y'_{C})$ — образ точки $C(0; -2)$. Найдем ее координаты:

$x'_{C} = x_C + a = 0 + 0 = 0$

$y'_{C} = y_C + b = -2 + (-3) = -5$

Следовательно, координаты образа точки C: $(0; -5)$.

Ответ: $C'(0; -5)$

247. Найдите точки, являющиеся образами точек $A (1; -2)$ и $B (-2; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}(-2; 5)$. Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки $M (3; -5)$ и $N (2; 0)$?

247. Найдите точки, являющиеся образами точек $A (1; -2)$ и $B (-2; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{n}(-2; 5)$. Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки $M (3; -5)$ и $N (2; 0)$?

При параллельном переносе точки $P(x; y)$ на вектор $\vec{n}(a; b)$ ее образом является точка $P'(x'; y')$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

Найдите точки, являющиеся образами точек A(1; -2) и B(-2; 3) при параллельном переносе на вектор $\vec{n}(-2; 5)$.

1. Найдем образ точки $A(1; -2)$. Обозначим его $A'(x'; y')$.
$x' = x_A + a = 1 + (-2) = -1$
$y' = y_A + b = -2 + 5 = 3$
Координаты образа точки A: $A'(-1; 3)$.

2. Найдем образ точки $B(-2; 3)$. Обозначим его $B'(x'; y')$.
$x' = x_B + a = -2 + (-2) = -4$
$y' = y_B + b = 3 + 5 = 8$
Координаты образа точки B: $B'(-4; 8)$.
Ответ: $A'(-1; 3)$ и $B'(-4; 8)$.

Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки M(3; -5) и N(2; 0)?

Чтобы найти координаты исходной точки $P(x; y)$, зная координаты ее образа $P'(x'; y')$ и вектора переноса $\vec{n}(a; b)$, необходимо использовать обратные формулы:

$x = x' - a$

$y = y' - b$

1. Найдем точку, образом которой является $M(3; -5)$. Обозначим ее $M_{orig}(x; y)$.
$x = x_M - a = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$
$y = y_M - b = -5 - 5 = -10$
Исходная точка: $(5; -10)$.

2. Найдем точку, образом которой является $N(2; 0)$. Обозначим ее $N_{orig}(x; y)$.
$x = x_N - a = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$
$y = y_N - b = 0 - 5 = -5$
Исходная точка: $(4; -5)$.
Ответ: Точки M и N являются образами точек $(5; -10)$ и $(4; -5)$ соответственно.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $A(-5; 2)$ будет точка $B(3; -1)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $B$ будет точка $A$.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $A (-5; 2)$ будет точка $B (3; -1)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $B$ будет точка $A$.

Вектор, при параллельном переносе на который образом точки A (-5; 2) будет точка B (3; -1)

Параллельный перенос точки $A(x_A; y_A)$ в точку $B(x_B; y_B)$ задается вектором переноса $\vec{v}(v_x; v_y)$. Координаты этого вектора равны разности соответствующих координат конечной и начальной точек. В данном случае вектор переноса совпадает с вектором $\vec{AB}$.

Координаты вектора вычисляются по формулам:

$v_x = x_B - x_A$

$v_y = y_B - y_A$

Подставим известные координаты точек $A(-5; 2)$ и $B(3; -1)$:

$v_x = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$

$v_y = -1 - 2 = -3$

Таким образом, вектор переноса из точки A в точку B имеет координаты $(8; -3)$.

Ответ: $\vec{v}(8; -3)$

Вектор, при параллельном переносе на который образом точки B будет точка A

Аналогично, найдем вектор $\vec{u}(u_x; u_y)$, при параллельном переносе на который точка $B(3; -1)$ переходит в точку $A(-5; 2)$. В этом случае начальной точкой является B, а конечной — A. Вектор переноса совпадает с вектором $\vec{BA}$.

Координаты вектора вычисляются по формулам:

$u_x = x_A - x_B$

$u_y = y_A - y_B$

Подставим координаты точек:

$u_x = -5 - 3 = -8$

$u_y = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$

Таким образом, вектор переноса из точки B в точку A имеет координаты $(-8; 3)$. Этот вектор является противоположным вектору $\vec{v}$, найденному в первой части задачи, то есть $\vec{u} = -\vec{v}$.

Ответ: $\vec{u}(-8; 3)$

249. При параллельном переносе образом точки $A (4; -2)$ является точка $B (-1; 7)$. Какая точка является образом точки $M (0; -4)$ при этом параллельном переносе?

249. При параллельном переносе образом точки $A(4; -2)$ является точка $B(-1; 7)$. Какая точка является образом точки $M(0; -4)$ при этом параллельном переносе?

Параллельный перенос задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(x; y)$ — координаты исходной точки, $(x'; y')$ — координаты ее образа, а $(a; b)$ — координаты вектора параллельного переноса.

По условию, образом точки $A(4; -2)$ является точка $B(-1; 7)$. Используем это, чтобы найти вектор переноса $(a; b)$.

Для координаты $x$:

$-1 = 4 + a$

$a = -1 - 4 = -5$

Для координаты $y$:

$7 = -2 + b$

$b = 7 - (-2) = 7 + 2 = 9$

Таким образом, вектор параллельного переноса имеет координаты $(-5; 9)$.

Теперь найдем образ точки $M(0; -4)$ при этом параллельном переносе. Обозначим искомую точку как $M'(x'; y')$.

Применим найденные значения $a$ и $b$ к координатам точки $M$:

$x' = x_M + a = 0 + (-5) = -5$

$y' = y_M + b = -4 + 9 = 5$

Следовательно, образом точки $M(0; -4)$ является точка с координатами $(-5; 5)$.

Ответ: $(-5; 5)$.

250. Вершинами треугольника $ABC$ являются точки $A (3; -5)$, $B (4; 1)$ и $C (7; -8)$. Выполнили параллельный перенос треугольника $ABC$, при котором образом точки $A$ является точка $B$. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Сделайте чертёж.

250. Вершинами треугольника ABC являются точки $A (3; -5)$, $B (4; 1)$ и $C (7; -8)$. Выполнили параллельный перенос треугольника ABC, при котором образом точки A является точка B. Каковы координаты вершин полученного треугольника? Сделайте чертёж.

Параллельный перенос задается вектором $\vec{p}(a, b)$. При таком переносе точка с координатами $(x, y)$ переходит в точку с координатами $(x', y')$, где $x' = x + a$ и $y' = y + b$.

По условию задачи, вершина $A(3; -5)$ треугольника $ABC$ переходит в вершину $B(4; 1)$. Это означает, что точка $B$ является образом точки $A$. Используя это, найдем компоненты $a$ и $b$ вектора переноса:
$x_B = x_A + a \implies 4 = 3 + a \implies a = 1$
$y_B = y_A + b \implies 1 = -5 + b \implies b = 1 + 5 = 6$
Таким образом, вектор параллельного переноса равен $\vec{p}(1; 6)$.

Теперь найдем координаты вершин полученного треугольника $A'B'C'$, применив этот вектор переноса к каждой из вершин исходного треугольника $ABC$.

1. Образом вершины $A(3; -5)$ является точка $A'(3+1; -5+6)$, то есть $A'(4; 1)$. Это совпадает с точкой $B$, как и дано в условии.

2. Образом вершины $B(4; 1)$ является точка $B'(4+1; 1+6)$, то есть $B'(5; 7)$.

3. Образом вершины $C(7; -8)$ является точка $C'(7+1; -8+6)$, то есть $C'(8; -2)$.

Следовательно, вершинами нового треугольника являются точки $A'(4; 1)$, $B'(5; 7)$ и $C'(8; -2)$.

Ответ: Координаты вершин полученного треугольника: $(4; 1)$, $(5; 7)$, $(8; -2)$.

Чертёж: